Cifras significativas en cálculos básicos de química

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Muchos alumnos suelen preguntar: “¿Cuántos decimales debo usar en los cálculos?”. Esa pregunta no tiene una respuesta general.

Depende de qué  tipo de resultado se va a obtener con el cálculo. No es lo mismo determinar la concentración  de un metal pesado en una corriente de agua industrial que calcular el volumen que ocupa un cierto número de moles de un gas a una determinada presión recurriendo a la aproximación del gas ideal.

Si queremos calcular la concentración de sólidos totales disueltos en el efluente de una planta industrial por el procedimiento de tomar un  volumen de muestra, medir dicho volumen, secar el líquido y pesar el sólido seco resultante, las medidas del volumen de la muestra y de la masa del sólido seco deben ser muy exactas para que encontremos un valor de concentración lo más exacto posible.

Pero si queremos conocer el volumen que ocuparán 5 moles de CO2 a 20 grados de temperatura y bajo una presión de 1 atmósfera suponiendo que el CO2 se comporta como un gas ideal, no tiene mucho sentido emplear muchos decimales en los cálculos porque lo más probable es que ni siquiera el primer decimal de la cantidad obtenida sea correcto..

Cifras significativas

Esto, en primer lugar. En segundo, en lo que debemos fijarnos es en el el número de cifras significativas, no en el de decimales. Antes de especificar la diferencia, vaya por delante esta regla general: en cálculos de química básica suele ser suficiente emplear tres cifras significativas (por emplear cuatro cifras tampoco ocurrirá nada, pero a veces incluso con dos se obtiene un resultado con poco error).

Consideremos algunos ejemplos. Cuando decimos que la constante universal de las gases, R, vale 0,082 atmL/molK estamos usando dos cifras significativas (8 2) ya que los ceros a la izquierda no son significativos. En los problemas en los que suponemos comportamiento ideal de los gases, ya estamos haciendo una aproximación, por lo que no tiene mucho sentido emplear más cifras significativas para esta constante.

Hay una segunda razón que permite dar dos cifras significativas a la constante R: que su tercera cifra significativa es un cero (los ceros a la derecha, en general, sí son significativos, con la excepción que mencionamos más abajo). Efectivamente, actualmente se admite que el valor de R, dado con siete cifras significativas, es 0,08205746 atmL/molK. Si queremos hacer un redondeo a tres cifras significativas quedaría en 0,0821 y si redondeamos a dos quedaría el conocido valor 0,082.

Nótese que 0,082 tiene tres cifras decimales, pero, insistimos,el número de decimales no dice mucho; lo importante es el número de cifras significativas.

Cuando decimos que el volumen que ocupa un mol (volumen molar) de un  gas ideal a 0 ºC es 22,4 litros estamos empleando tres cifras significativas para ese valor. Un valor más exacto es 22,414. Ahí estamos dando 5 cifras significativas.

Solemos emplear para el número de Avogadro la cifra 6,022 × 1023, que equivale a 602.200.000.000.000.000.000.000, es decir, 602.200 trillones. Hemos dicho más arriba que los ceros a la derecha son significativos. Pero hay excepciones, y esta es una. En el número de Avogadro los veinte ceros que hemos escrito a la derecha no son significativos porque en realidad no son ceros, sino otros dígitos (algunos de ellos pueden ser 0, claro), la mayoría de los cuales desconocemos. Por eso, los sustituimos por ceros.

Precisamente, esta es una de las razones de que empleemos la notación científica en muchos números (como este). Escribiendo el número de Avogadro como 6,022 × 1023 estamos indicando que lo conocemos con cuatro cifras significativas (6 0 2 2); las demás las sustituimos por ceros. Para no escribir tantos utilizamos la notación de potencia de 10 (10n). (Para ser más exactos, se admiten actualmente para el valor promedio del número de Avogadro nueve cifras significativas. 6,02214129 ×1023.)

Errores

Como hemos dicho más arriba, en cálculos de química básica, en general, es suficiente emplear tres (o a lo sumo 4) cifras significativas, ya que es fácil demostrar que emplear más cifras no suele mejorar mucho el resultado, sobre todo si se vamos redondeando las cantidades parciales obtenidas adecuadamente.

Veamos un ejemplo. Se suele emplear el siguiente factor de conversión de atmósferas a pascales:

1 atm = 101.325 Pa

Tiene 6 cifras significativas. Vamos a quedarnos con tres redondeando la cuarta cifra. Como esa cuarta cifra es menor de 5 redondeamos por abajo el número y quedaría 101.000. Hemos de hacer una advertencia: ese número no deberíamos escribirlo así porque si una persona ajena al redondeo que hemos hecho lo lee puede interpretar que los tres últimos ceros son las cifras verdaderas de esa cantidad y considerar que 101.000 tiene 6 cifras significativas cuando evidentemente no es así, ya que las tres últimas no significan nada porque nos las hemos inventado. Para evitarle a esa persona la posible confusión, deberíamos escribir ese número en notación científica: 1,01 ×105, ya que existe este convenio universalmente aceptado para esta notación: solo se consideran significativas las cifras escritas antes del signo de multiplicar.

Valoremos ahora el error que hemos cometido al quedarnos con solo tres cifras significativas. El error absoluto es

101.000 Pa – 101.325 Pa = – 325 Pa

Y el error relativo (que es el importante) es, por definición:

– 325 Pa / 101.325 Pa = – 0,00321

que en porcentaje es de solo un 0,321 % (por defecto). Cuando para resolver un problema tenemos que hacer varias operaciones y redondeamos adecuadamente, como unas veces redondearemos por arriba y otras por abajo, los escasos errores se tenderán a compensar y es muy probable que el valor final obtenido tenga un error relativo incluso menor que el anterior.

La discusión hecha no afecta demasiado a lo grande que sea la cantidad con la que trabajemos, sino al número de cifras significativas con las que nos quedemos. Por ejemplo, calculemos el error que cometemos al dejar la el numero 0,00167493 (seis cifras significativas) en tres cifras significativas redondeando adecuadamente: 0,00167:

(0,00167 – 0,00167493) / 0,00167493 =  – 0,294 %

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