Combinatoria / 2. Combinaciones, variaciones y permutaciones

Las herramientas de la Combinatoria sirven para contar elementos de un conjunto, sobre todo cuando son numerosos.

Entre estas herramientas, las más importantes son las combinaciones, las variaciones, las permutaciones y la regla de la multiplicación.

Combinaciones

Dado un conjunto formado por elementos, se llaman combinaciones los subconjuntos distintos de elementos que pueden formarse. El número de ellos se calcula por . se lee ”combinaciones de elementos tomados de en ”.

Sea ; ¿cuántos subconjuntos de dígitos sin que se repita ninguno pueden formarse con esos dígitos? Sol.: dos ejemplos válidos son: y ; si ya hemos contado el , el no es un ejemplo válido, pues se trata del mismo subconjunto. El número de subconjuntos es: . (Nota: los problemas como éste en los que el orden en que se escriban los elementos en los resultados no hay que tenerlo en cuenta, se resuelven por combinaciones.)

Disponemos de cinco instrumentos musicales: A, B, C, D y E. ¿Cuántos tríos se pueden formar con estos instrumentos (sin repetirlos, se entiende)? (Sol.: no influye el orden en que escribamos los resultados, ya que el trío A-B-C es el mismo, musicalmente hablando, que el C-B-A. Se trata, pues, de un problema de combinaciones sin repetición: )

Combinaciones con repetición

Dado un conjunto formado por elementos, se llaman combinaciones con repetición los grupos distintos de elementos que pueden formarse permitiendo que los elementos se repitan cuantas veces se quiera. El número de grupos se calcula por . se lee ”combinaciones con repetición de elementos tomados de en ”.

Sea ; ¿cuántos grupos de dígitos, pudiendo repetirse cada uno cuantas veces se quiera, pueden formarse con esos dígitos? Sol.: ejemplos válidos son: , , , ; si ya hemos contado el , el no es un ejemplo válido, pues se trata del mismo grupo de elementos. El número de grupos es: . (Nota: los problemas como éste en los que el orden en que se escriban los elementos en los resultados es un aspecto que no tiene repercusión a la hora de contar, y tales que se permita repetir los elementos cuantas veces se quiera dentro de cada grupo, se resuelven por combinaciones con repetición.)

Disponemos de cuatro instrumentos de cuerda: violín (VI), viola (VA), violonchelo (VC) y contrabajo (CO). ¿Cuántos tipos de cuartetos de cuerda se pueden formar con estos instrumentos pudiendo repetirse cada uno de ellos un número cualquiera de veces? (nota: los cuartetos, como su nombre indica, están formados por cuatro instrumentos) (Sol.: no tiene importancia el orden en que escribamos los resultados, ya que un cuarteto VI-VA-VC-CO es el mismo que CO-VC-VI-VA; se trata, pues, de un problema de combinaciones. Como los elementos se pueden repetir cuantas veces se quiera (es decir, según el enunciado es válido, por ejemplo, un cuarteto VI-VI-VI-CO), se trata de combinaciones con repetición: )

Variaciones

Dado un conjunto formado por elementos, se llaman variaciones las distintas ordenaciones de elementos sin repetir ninguno que pueden formarse. El número de ellas se calcula por . se lee “variaciones de elementos tomados de en “.

Sea ; ¿cuántas cifras de dígitos, sin repetirlos, pueden formarse con esos dígitos? Sol.: ejemplos válidos son: , , ; si ya hemos contado el , el también es un ejemplo válido, pues se trata de distinta cifra. (No es válida la cifra porque se repite un elemento, contra lo que dice el enunciado.) El número de cifras es: . (Nota: los problemas como éste en los que el orden en que se escriban los elementos en los resultados es fundamental, se resuelven por variaciones.)

Sea ; ¿cuántas cifras de dígitos, sin repetirlos, pueden formarse con esos dígitos? (Sol.: )

Variaciones con repetición

Dado un conjunto formado por elementos, se llaman variaciones con repetición las distintas ordenaciones de elementos que pueden formarse repitiendo cada uno cuantas veces se quiera. El número de ellas se calcula por . se lee “variaciones con repetición de elementos tomados de en “.

Sea ; ¿cuántas cifras de dígitos, pudiendo repetir cada uno cuantas veces se quiera, pueden formarse con esos dígitos? Sol.: ejemplos válidos son: , , , , . El número de cifras posibles es: . (Nota: los problemas como éste en los que el orden en que se escriban los elementos en los resultados es fundamental, y se puedan repetir los elementos cuantas veces se quiera, se resuelven por variaciones con repetición.)

Sea ; ¿cuántas cifras de dígitos, repitiendo cada uno cuantas veces se desee, pueden formarse con esos dígitos? (Sol.: Ejemplos válidos: etc.; )

Permutaciones

Dado un conjunto formado por elementos, se llaman permutaciones las distintas ordenaciones de elementos sin repetir ninguno que pueden formarse. El número de ellas se calcula por se lee ”permutaciones de elementos”. En realidad, las permutaciones son el caso especial de las variaciones en el que

Sea ; ¿cuántas cifras de dígitos, sin repetirlos, pueden formarse con esos dígitos? Sol.: ejemplos válidos son: , , ; si ya hemos contado el , el también es un ejemplo válido, pues se trata de distinta cifra. (No es válida la cifra porque se repite un elemento, contra lo que dice el enunciado.) El número de cifras posibles es: . (Nota: los problemas como éste en los que el orden en que se escriban los elementos en los resultados es fundamental, y en que se deban tomar en cada ordenación todos los elementos de los que disponemos, se resuelven por permutaciones.) (El concepto de permutaciones sin repetición es poco útil, pues al ser las permutaciones sin repetición un caso particular de variaciones sin repetición (en el que), los problemas de este tipo pueden resolverse por variaciones: )

Sean tres personas, A, B y C, que van a formar una jerarquía directiva en una empresa. ¿Cuántas jerarquías posibles pueden darse? (Sol.: una de ellas puede ser A-B-C; otra: C-B-A; etc…: )

Permutaciones con repetición

Dado un conjunto formado por elementos, se llaman permutaciones con repetición las distintas ordenaciones de elementos que pueden formarse repitiendo cada uno un número fijo de veces , , . El número de ellas se calcula por . se lee “permutaciones con repetición de elementos que se repiten veces, veces, veces, etc., respectivamente”. Debe cumplirse que El concepto del permutaciones con repetición es muy parecido al de variaciones con repetición; la única diferencia es que en las primeras los elementos deben repetirse un número fijo de veces, mientras que en las segundas cada elemento puede repetirse cuantas veces se quiera.

Sea ; ¿cuántas cifras de dígitos pueden formarse con esos de modo que el aparezca siempre dos veces, el , cinco veces, y los demás una sola vez? Sol.: ejemplos válidos son: , , . No valen, por ejemplo, el (pues solo tiene dígitos) o el (pues los dígitos no se repiten el número de veces que dice el enunciado). El número de cifras posibles es: . (Nota: los problemas como éste en los que el orden en que se escriban los elementos en los resultados es fundamental, y los elementos deban tomarse un número fijo y determinado de veces, se resuelven por permutaciones con repetición.)

En una carrera ciclista compiten corredores del país A, del B y del C. ¿Cuántas clasificaciones son posibles si sólo nos importan las nacionalidades, no los ciclistas? Queremos decir lo siguiente: consideraremos, por ejemplo, AAAAABBCCC una clasificación, AABBCCAAAC, otra, etc. (Sol.: )