Combinatoria / 3. Regla de la multiplicación y problemas mixtos

Regla de la multiplicación

Algunos problemas consisten en contar el número de subconjuntos, grupos u ordenaciones que pueden formarse con elementos de más de un conjunto. El número total de subconjuntos, grupos u ordenaciones se calcula, en general, multiplicando los que pueden encontrarse en cada conjunto por los que pueden encontrarse en todos los demás (regla de la multiplicación). También puede aplicarse a un solo conjunto en algunos casos. Veremos algunos ejemplos para ilustrar la regla.

Debo leer libros de matemáticas, de lengua y de economía, en ese orden de materias, pero se me permite elegir diferentes ordenaciones cronológicas dentro de cada materia (es decir, puedo leer los de matemáticas en el orden MMM, o en el orden MMM, etc.) ¿Cuántas ordenaciones puedo considerar? Sol.: Ejemplos válidos pueden ser: MMMLLEEEEE o MMMLLEEEEE; ejemplos no válidos: LLMMMEEEEE (pues debo empezar por los de matemáticas); MMLEEEE (pues así no leo todos los libros), etc. Existen ordenaciones distintas para leer los de matemáticas, formas diferentes de leer los de lengua: LL y LL; y ordenaciones posibles para los de economía. Por cada ordenación de los libros de matemáticas hay de lengua y de economía. Si, por ejemplo, opto por leer los de matemáticas en el orden MMM, tengo luego dos posibilidades para los de lengua: LL y LL; pero como hay ordenaciones posibles de matemáticas, el total de ordenaciones matemáticas-lengua es de . De entre esas si opto, por ejemplo, por la ordenación MMMLL, después de leerlos en ese orden tengo formas de leer los de economía, y lo mismo para cada una de las ordenaciones matemáticas-lengua. Por tanto, el número total de ordenaciones matemáticas – lengua – economía es: .

Siguiendo con el mismo problema anterior, ¿cuántas formas tengo de leer los libros si se me permite que los lea en cualquier orden de disciplinas pero con la condición de mantener el agrupamiento cronológico por disciplinas? Sol.: Ejemplos válidos son: MMMLLEEEEE y LLMMMEEEEE; ejemplo no válido: LEMMLEMEEE (pues debo mantenerlos agrupados por disciplinas). En el problema anterior vimos que había formas de leer los libros manteniendo el orden matemáticas – lengua – economía, pero podemos considerar ordenaciones de bloques distintas, como lengua – economía – matemáticas, etc. ¿Cuántas ordenaciones de bloques? Como son bloques, Por cada una hay ordenaciones de libros; por tanto, el número total de ordenaciones con las condiciones del enunciado es

Siguiendo con el mismo problema anterior, ¿cuántas formas tengo de leer los libros si se me permite que los lea en cualquier orden, sin condiciones? Sol.: Ejemplos válidos son: LEMMLEMEEE, LLMMMEEEEE. En este caso no es imprescindible aplicar la regla de la multiplicación, ya que simplemente: . No obstante, se podría aplicar esta regla si se quisiera: tengo formas de escoger el primer libro para leer; una vez escogido, hay maneras de escoger el segundo. Como por cada forma de escoger el primero hay de escoger el segundo, en total hay posibilidades de leer los dos primeros (algunas de ellas son: LE, MM, LE, ME, EE, etc.). Por cada una de éstas hay formas de escoger el tercero (pues quedan libros); el total parcial es, pues: . Siguiendo este razonamiento es fácil ver que el número total de formas es

Tengo camisas, pantalones y (pares de) calcetines. ¿Cuántas combinaciones de ropa puedo hacer? (Sol.: Por cada camisa puedo ponerme dos pantalones: combinaciones camisa – pantalón; y por cada una de ellas puedo elegir un par de calcetines de entre . El número total de formas de vestir es, pues: )

alemanes, franceses y italianos van juntos al cine; ¿de cuántas formas pueden sentarse en una fila si es importante el orden relativo en que se sienten y los alemanes deben quedar a la izquierda, los franceses en el centro y los italianos a la derecha?(Sol.: Ejemplo válido: AAAAFFIII. Los alemanes pueden permutar sus asientos entre sí de formas distintas; los franceses, de y los italianos, de . Por cada forma de sentarse los alemanes hay dos formas de los franceses, y por cada posición relativa alemanes – franceses, hay formas de sentarse los italianos. En total, pues: formas)

alemanes, franceses y italianos van juntos al cine; ¿de cuántas formas pueden sentarse en una fila si es importante el orden relativo en que se sienten y debe cumplirse que los de cada nacionalidad queden juntos entre sí? (Sol.: Según el enunciado, son ejemplos válidos: AAAAFFIII y IIIAAAAFF pero no IIAFAAAFI. Según el ejercicio anterior, hay formas de sentarse manteniendo la posición alemanes – franceses – italianos, pero en este problema se tolera que la intercambien (con tal de que queden juntos los de la misma nacionalidad). Es decir, es válida la posición franceses -alemanes – italianos y las demás posibles. Hay ordenaciones distintas de bloques nacionales, y por cada una, formas de sentarse los individuos. En total, pues: formas que cumplan las condiciones del enunciado )

alemanes, franceses y italianos van juntos al cine; ¿de cuántas formas pueden sentarse en una fila? (Sol.: Ejemplo válido: IIAFAAAFI. )

alemanes (A), franceses (F) y italianos (I) van juntos al cine; ¿de cuántas formas pueden sentarse en una fila si no me importa la individualidad de cada persona, sino su nacionalidad? (es decir, AAFFIAFAII sería un ejemplo; no distingo a un alemán de los otros, ni a un francés del otro ni a un italiano de los otros dos italianos )(Sol.: )

¿Cuántos números hay entre el 100000 y el 999999, ambos incluidos? (resolverlo por la regla de la multiplicación y por variaciones con repetición) (Sol.: (1) Por la regla de la multiplicación: el primer dígito puede escogerse de entre (del 1 al 9); por cada uno de ellos, el segundo puede elegirse de entre (del 0 al 9), y lo mismo los demás. En total habrá, pues: números. (2) Por variaciones con repetición y regla de la multiplicación: el primer dígito puede escogerse de entre (del 1 al 9). Los otros se toman del conjunto de diez elementos , permitiéndose que se repitan (es decir, vale, por ejemplo: 23301). El número de cifras de cinco dígitos es, pues, , que multiplicados por dan un total de

Problemas mixtos

En muchas ocasiones no cabe aplicar fórmulas directas, sino que hay que combinarlas o simplemente contar siguiendo lógicas simples, descomponiendo los problemas en problemas parciales.

¿Cuántos números impares hay entre el 0 y el 1348? Sol.: Consideraremos cuatro categorías: los de un dígito, los de dos, los de tres y los de cuatro. De un dígito hay números impares (no hace falta aplicar ninguna fórmula de combinatoria; son: 1, 3, 5, 7, 9). Para saber cuántos hay de dos dígitos observemos que a su vez hay cinco subcategorías: los que acaban en 1, en 3, en 5, en 7 y en 9, y cada subcategoría consta de nueve números (la primera está formada por el 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91), por lo que hay en total cifras de dos dígitos. Para saber cuántas cifras impares hay de tres dígitos reparemos en que serán de uno de los cinco siguientes subtipos: Consideremos el primero de ellos: el primer hueco lo pueden ocupar los nueve dígitos del 1 al 9 (no el 0), y el segundo, cualquiera de los diez dígitos del 0 al 9. Hay, entonces (por la regla de la multiplicación), cifras del primer subtipo, y habrá otras tantas de los otros cuatro; en total, . (Otro método hubiera sido considerar todos los casos, incluidos aquellos que tengan en el primer hueco un 0. Habría casos; restando luego los que empiezan por 0 (011, 021, 031, 041, etc.), quedan , que multiplicado por 5 subtipos da .) Finalmente, para saber cuántos impares hay entre 1000 y 1348 debemos considerar que las cifras en cuestión sólo podrán empezar por Dejaremos para el final los del subtipo Cada uno de los otros tres admite cualquier dígito en la tercera posición (diez dígitos distintos, por tanto), y sólo cinco en la cuarta (1, 3, 5, 7, 9), lo que hace un total de (por la regla de la multiplicación). Finalmente, hay que sumar las cifras impares que hay entre 1301 y 1347. En total, pues, hay cifras impares entre 0 y 1348.

Cómo saber de qué tipo es cada problema

Es en el enunciado de cada problema donde debemos averiguar si se debe resolver por combinaciones, variaciones, etc. Se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Se resolverá por combinaciones si el orden en que se escriban los elementos no es relevante; en los casos en que sí lo sea, se resolverá por variaciones o por permutaciones.
2. Si el orden no ha de ser tenido en cuenta y los elementos no deben repetirse, el problema es de combinaciones sin repetición; si se pueden repetir cuantas veces se quiera, es de combinaciones con repetición.
3. Si el orden ha de ser tenido en cuenta y no se repiten los elementos, el problema es de variaciones sin repetición. (Si se quiere, puede desdeñarse el concepto de permutaciones sin repetición, pues son el caso particular de las variaciones sin repetición en que se usan todos los elementos que nos dan.)
4. Si el orden es decisorio y se repiten los elementos, el problema es de variaciones con repetición o de permutaciones con repetición. Si cada elemento se puede repetir cuantas veces se quiera, es del primer tipo; si se debe repetir un número fijo de veces, determinado en el enunciado del problema, es del segundo tipo.