Experimento aleatorio
- Un experimento aleatorio es aquel suyo resultado es impredecible (es decir, se obtiene algo al azar).
▷Ejemplo: Lanzar un dado y anotar los números que salen es un experimento aletoario.
▷Ejemplo: Sacar cartas de una baraja al azar es un experimento aleatorio.
▶Ejercicio: ¿Un sorteo de lotería es un experimento aleatorio?
Sol.: sí.
Suceso
- Se llama suceso cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.
Suceso elemental es cada uno de los resultados más detallados del experimento. Un suceso que pueda descomponerse en otros más simples no es elemental.
▷Ejemplo: ”Sacar un 2” al tirar un dado es un suceso elemental.
▷Ejemplo: ”Salir impar” al tirar un dado no es un suceso. elemental porque puede escribirse conectando tres sucesos elementales: ”salir 1” o ”salir 3” o ”salir 5”.
Sucesos equiprobables
- Una serie de sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrir.
▷Ejemplo: ”Sacar un 2” y ”sacar un 3” al tirar un dado son sucesos equiprobables.
▷Ejemplo: ”Salir impar” y ”salir par” al tirar un dado son sucesos equiprobables.
▶Ejercicio: ¿Son equiprobables los sucesos ”sacar bola negra” y ”sacar bola verde” al extraer una bola de una urna que contiene cien bolas negras, una verde y una roja? (Sol.: no).
▶Ejercicio: ¿Son equiprobables los sucesos ”sacar el rey de oros” y ”sacar espada” al extraer una carta de una baraja española? (Sol.: no).
▶Ejercicio: ¿Son equiprobables los sucesos ”salir cara” y ”salir cruz” al tirar una moneda al aire? (Sol.: sí; debe tenerse en cuenta que en los experimentos de probabilidad supondremos que los objetos que usamos están construidos de tal manera que permiten estas equiprobabilidades).
Espacio muestral
- Espacio muestral, E, es el conjunto de todos los sucesos posibles de un experimento. Siempre escribiremos el espacio muestral de manera que sus elementos sean sucesos elementales equiprobables.
▷Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos dados y sumar sus puntuaciones. En principio, los sucesos posibles son: E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} (es decir, desde “sumar 2” (en cada dado sale el 1) hasta “sumar 12”). Ahora bien, estos sucesos no son equiprobables, pues es más probable, por ejemplo, sumar 9 que 2 (ya que 2 solo puede darse como la suma 1+1 mientras que 9 puede darse como 3+6. 4+5, 5+4 y 6+3). Un espacio muestral formado por sucesos elementales equiprobables para este experimento sería
E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),···,(6,5),(6,6)}
donde hemos escrito algunos de los 36 elementos de ese conjunto, es decir, de los 36 sucesos elementales equiprobables posibles.
▶Ejercicio: Dada una urna con cuatro bolas, dos negras, una verde y una roja, ¿está bien construido el espacio muestral del experimento ”sacar una bola” así: E = {n,v,r}?
Sol.: no, porque los sucesos n (”salir negra”), v (”salir verde”) y r (”salir roja”) no son equiprobables; por el contrario, debe construirse así: E = {n1,n2,v,r} para garantizar que está compuesto de sucesos elementales equiprobables (ya que la bola n1 tiene la misma probabilidad de salir que la n2, la v y la r).
Suceso (otra definición)
- Definido E, podemos redefinir suceso como cualquier subconjunto del espacio muestral.
Como se dijo en su momento, de un conjunto de n elementos pueden extraerse 2n subconjuntos distintos (incluido él mismo y el conjunto vacío, ∅.
▷Ejemplo: Sea una urna con tres bolas, negra (n), verde (v) y roja (r), de entre las que sacaré una. El espacio muestral (sucesos elementales equiprobables) es: E = {n,v,r}. En total se pueden considerar 23 = 8 subconjuntos, es decir, 8 sucesos posibles (elementales y no). Son: {n} (“sale la negra”); {v} (“sale la verde”); {r} (“sale la roja”); {n,v} (“sale la negra o la verde”); {n,r} (“sale la negra o la roja”); {v,r} (“sale la verde o la roja”); {n,r,v} (“sale cualquiera”); ∅ (“no sale ninguna”). Es importante entender que no cabe imaginar ningún otro resultado posible de este experimento.
▷Ejemplo: Sea el experimento lanzar una moneda al aire. El espacio muestral (sucesos elementales equiprobables) es: E = {c,+}. En total se pueden considerar 22 = 4 subconjuntos, es decir, 4 sucesos posibles (elementales y no), que son: ∅, {c}, {+}, {c,+}. El primero equivale a ”no salir nada” (suceso ”imposible”); el segundo, a ”salir cara”; el tercero, a ”salir cruz”; y el cuarto, a salir cualquier cosa, cara o cruz (suceso ”seguro”).
▷Ejemplo: Sea el experimento lanzar dos monedas al aire. El espacio muestral (sucesos elementales equiprobables) es:
E = {(c1,c2),(c1,+2),(+1,c2),(+1,+2)}
En total se pueden considerar 24 = 16 sucesos posibles (elementales y no). Algunos de ellos son: {(c1,c2)} (”en las dos monedas sale cara”); {(c1,c2),(+1,+2)} (”en las dos monedas sale cara o en las dos sale cruz”); {(c1,+2),(+1,c2)} (”en una sale cara y en otra cruz”)…
▷Ejemplo: Sea una urna con tres bolas, negra (n), verde (v) y roja (r), de las que sacaré dos simultáneamente. El espacio muestral (sucesos elementales equiprobables) es:
E = {(n,v),(n,r),(v,r)}
En total se pueden considerar 23 = 8 sucesos posibles (elementales y no). Son: {n,v} (”salen la negra y la verde”); {n,r} (”salen la negra y la roja”); {v,r} (”salen la verde y la roja”); {(n,v),(n,r)} (”salen la negra y la verde o la negra y la roja”); etc.
▷Ejemplo: Sea una urna con tres bolas, negra (n), verde (v) y roja (r), de las que sacaré dos, una a una. El espacio muestral (conjunto de sucesos elementales equiprobables) es:
E = {(1n,2v),(1v,2n),(1n,2r),(1r,2n),(1v,2r),(1r,2v)}
En total se pueden considerar 26 = 64 sucesos posibles (elementales y no). Por dar tres ejemplos, {(1n,2v),(1n,2r),} es el suceso que podríamos leer “que salga primero la negra”; {(1n,2v),(1v,2n),(1n,2r),(1r,2n)}: “que no salgan la verde y la roja juntas”; y {(1n,2v),(1v,2n)}: “que salga la negra antes y la verde después o viceversa”.
▶Ejercicio: Dado el experimento de tirar dos monedas al aire, ¿cómo se leería el suceso {(c1,c2),(c1,+2),(+1,c2)}?
Sol.: ”no salir las dos cruces”, o bien: ”salir cualquier cosa excepto las dos cruces” (téngase en cuenta que un mismo suceso se puede leer de multiples formas, pero hay una sola de escribirlo simbólicamente mediante un subconjunto).
▶Ejercicio: Extraigo una carta de una baraja española. El espacio muestral adecuado del experimento es:
E = {O1,O2,···,C1,···,E1,···,B1,B10 }
donde hemos representado solo algunos elementos (O significa oros; C, copas,. etc., y los subíndices se refieren al número de carta dentro de cada palo). ¿Cómo podría leerse el suceso S = {O10}?
Sol.: ”salir el ”10” de oros (es un suceso elemental).
▶Ejercicio: Extraigo una carta de una baraja española. ¿Cómo podría leerse el suceso S = {O10,C10,E10,B10}?
Sol.: ”salir el ”10” de cualquier palo.
▶Ejercicio: Extraigo una carta de una baraja española. ¿Cómo podría leerse el suceso S = E = {O1,O2,···,C1,···,E1,···,B1,B10 } (se entiende que dentro de los corchetes están contenidas todas las cartas de la baraja? (Sol.: ”salir cualquier carta” –suceso seguro–).
Suceso contrario
- Dado un determinado suceso, S, se dice que Sc es su contrario o complementario si se cumplen dos requisitos:
S ∩ Sc = ∅
S ∪ Sc = E
Con palabras, lo contrario del suceso “S” es ”no S”.
▷Ejemplo: Sea el experimento de lanzar un dado y ver qué número sale. Dado el suceso ”que salga el 2”, que podemos representar por S2 = {2}, el suceso contrario es ”que no salga el 2” (o lo que es lo mismo, ”que salga el 1, el 3, el 4, el 5 o el 6”), que podemos representar por S–2 = {1,3,4,5,6}. La comprobación de que esto es correcto es que S ∩ S–2 = ∅ y S ∪ S–2 = E.
▶Ejercicio: En el experimento anterior, dado el suceso “que salga el 2”, ¿es el suceso contrario “que salga el 1 o el 3”?
Sol.: los sucesos son S2 = {2}, S1,3 = {1,3}. Se cumple S2 ∩ S1,3 = ∅, pero no se cumple S2 ∪ S1,3 = E Por tanto, ambos sucesos no son matemáticamente contrarios entre sí.
▶Ejercicio: En el experimento anterior, dado el suceso ”que salga par”, ¿es el suceso contrario ”que salga impar”?
Sol.: Spar = {2,4,6}, Simpar = {1,3,5}
Se cumple Spar ∩ Simpar = ∅ y Spar ∪ Simpar = E. Por tanto, ambos sucesos son contrarios.
Sucesos incompatibles
- Dos sucesos son entre sí incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente. Para que dos sucesos S1 y S2 sean incompatibles debe cumplirse S1 ∩ S2 = ∅.
▷Ejemplo: Sea el experimento de lanzar un dado y ver qué número sale. El suceso ”que salga el 2” es incompatible con el suceso ”que salga el 3”.
▶Ejercicio: En el experimento anterior, ¿son incompatibles los sucesos ”que salga 2” y ”que salga par”?
Sol.: son compatibles porque pueden suceder simultáneamente (si sale 2, sale par). Matemáticamente se cumple que son compatibles porque S2 ∩ Spar ≠ ∅.
