Probabilidad / 2. Probabilidad de un suceso

Probabilidad de un suceso

• Dado un espacio muestral, E, de sucesos elementales equiprobables de un experimento aleatorio, y dado un suceso S determinado, la probabilidad de que ocurra dicho suceso se calcula por

(las barras indican cardinal, es decir, número de elementos).

Como el número de elementos de S nunca puede ser mayor que el de E, el valor máximo de una probabilidad es 1.

Para expresar un valor de probabilidad en porcentaje, basta multiplicarlo por 100, En ese caso, el valor máximo de la probabilidad es 100 %; el mínimo es 0 %.

▷Ejemplo: Sea el experimento de lanzar un dado y ver qué número sale. Para calcular la probabilidad de obtener un número dado, por ejemplo, el 5, construimos los conjuntos del espacio muestral y del suceso correspondiente en este caso:
E = {1,2,3,4,5,6}
S₅ = {5}
La probabilidad es: P = |S₅| / |E| = 1/6 ≈ 0,167 = 16,7 %.

▷Ejemplo: Sea el experimento anterior. La probabilidad de que salga par se puede calcular fácilmente teniendo en cuenta que el suceso ahora es: S_par = {2,4,6} y que el espacio muestral es el mismo que el de antes: E = {1,2,3,4,5,6}. La probabilidad se calcula así: P = |S_par| / |E| = 3/6 ≈ 0,5 = 50 %.

▶Ejercicio: ¿Cuál es la probabilidad del suceso “suma de puntos igual a 7” al lanzar dos dados? (Sol.: el espacio muestral de sucesos elementales equiprobables es:
E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),···,(6,4),(6,5),(6,6)}
que tiene VR(6,2) = 36 elementos (ya que usamos 6 elementos, los tomamos de 2 en 2, vale repetirlos y hay que tener en cuenta el orden, pues el resultado (1,2) no es el mismo que el (2,1) a estos efectos. De esos 36 elementos, el subconjunto S₇ correspondiente al suceso “suma de puntos igual a 7” lo forman estos:
S₇ = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.
Como se ve, contiene 6 elementos. La probabilidad es, pues 6/36 = 1/6.
(Nota: es importante entender por qué hay que escribir (1,2) y (2,1) como resultados distintos. Si los consideráramos como un solo resultado, ello implicaría que “sumar 2” ((2,2)) y “sumar 3” ((1,2)) serían igualmente probables. La práctica demuestra que es más probable “sumar 3” que “sumar 2” y la razón es precisamente que hay una sola forma de salir la pareja (1,1) y dos formas de salir la (1,2), que son: que en el primer dado salga 1 y en el segundo 2, y viceversa. Los sucesos que sí son equiprobables entre sí son (1,1), (1,2) y (2,1), y por eso los tres deben estar contemplados en E).

Intersección de sucesos

• Dados dos sucesos S₁ y S₂, la probabilidad de que se cumplan uno y otro al mismo tiempo viene dada por:
  P(S₁ ∩ S₂) = P(S₁) · P(S₂/S₁)
  donde el signo de la intersección de sucesos, ∩, lo leeremos ”y” y la expresión P(S₂/S₁) la entenderemos como la probabilidad de que ocurra el sucesos S₂ si previamente ha ocurrido el suceso S₁.

▷Ejemplo: Lanzamos dos veces un dado y queremos calcular cuál es la probabilidad de obtener en la primera tirada un 1 y en la segunda un 6. Podemos escribirlo matemáticamente así:
P(S₁ ∩ S₆) = P(S₁) · P(S₆/S₁) = (1/6) (1/6) = 1/36
(que el resultado es correcto es fácil de probarlo si reparamos en que el espacio muestral, E = {(1,1),(1,2),···,(6,6)}, tiene 36 elementos, y el suceso considerado, S_1,6 = {(1,6)}, uno sólo). Hay que insistir en el significado de P(S₆/S₁): es la probabilidad de que ocurra el suceso S₆ si asumimos que previamente ha ocurrido el S₁. En realidad, en este ejercicio, la probabilidad de S₆ es 1/6 independientemente de que en la tirada previa ocurriera S₁ o no; en este caso, que no siempre tiene por qué darse, se dice que ambos sucesos son independientes).

▶Ejercicio: ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta de oros de una baraja española y luego sacar una segunda (sin reintroducir la primera) también de oros? (Sol.: recordando que una baraja española tiene 40 cartas, 10 de cada palo:
P(S_1,oros ∩ S_2,oros) = P(S_1,oros) · P(S_2,oros /S_1,oros) = (10/40) (9/39) = 3/52
P(S_2,oros /S_1,oros) debe entenderse como la probabilidad de que la segunda carta sea de oros si la primera lo fue. (Por otra parte, en este caso ambos sucesos no son independientes, pues la probabilidad del segundo depende de que haya ocurrido o no el primero).

◇ Cuando un experimento aleatorio es complejo, podemos tratar de descomponerlo en otros más simples equivalentes conectados por la partícula “y“, aplicando entonces la fórmula de la intersección de sucesos.

▷Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Vamos a calcular la probabilidad de que ”al sacar simultáneamente dos bolas ambas sean rojas”. El suceso es equivalente a ”sacar en una primera extracción una bola roja” y ”sacar en una segunda extracción una bola roja (sin reintroducir la primera bola)”. Llamando S_1,roja al suceso ”sacar en la primera extracción una bola roja” y S_2,roja al suceso ”sacar en la segunda extracción una bola roja”, la probabilidad que nos piden se escribe simbólicamente P( S_1,roja ∩ S_2,roja) y se calcula así:
P( S_1,roja∩ S_2,roja) = P( S_1,roja) · P(S_2,roja /S_1,roja) = (3/6)·(2/5) = 1/5
(recordando que la probabilidad de sacar una bola roja en la segunda extracción si ya ha sucedido que salió roja en la primera es 2/5 puesto que quedan 5 bolas en la urna y de ellas ya solo 2 son rojas).

▶Ejercicio: Se extrae una carta de una baraja española, se reintroduce y se extrae otra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean oros? (Sol.: El suceso indicado equivale a “sacar un oro en una primera extracción” y “sacar un oro en una segunda extracción”:
P(S_1,oros ∩ S_2,oros) = P(S_1,oros) · P(S_2,oros /S_1,oros) = (10/40) (10/40) = 1/16.

Unión de sucesos

• Dados dos suceso S₁ y S₂, la probabilidad de que se cumpla ”uno u otro” viene dada por:
  P(S₁ ∪ S₂) = P(S₁) + P(S₂) – P(S₁ ∩ S₂)

donde el signo de la unión de sucesos, ∪, lo leeremos ”o”, y el de la intersección, ∩, ”y”.

En caso de sucesos incompatibles se puede demostrar que P(S₁ ∩ S₂) = 0, lo que simplifica la fórmula anterior dejándola en:
P(S₁ ∪ S₂) = P(S₁) + P(S₂)

▷Ejemplo: Al sacar una carta de una baraja española, vamos a averiguar cuál es la probabilidad de que sea un”6″ o que sea ”oros”. Ambos sucesos son compatibles (puede salir el ”6 de oros”), por lo que la probabilidad pedida viene dada por
P(S₆ ∪ S_oros) = P(S₆) + P(S_oros) – P(S₆ ∩ S_oros) = (4/40) + (10/40) – (4/40)(1/4) = 13/40
(cálculos hechos teniendo en cuenta que P(S₆) = (4/40) porque hay 4 “6” en 40 cartas; P(S_oros) = (10/40) porque hay 10 oros en 40 cartas; y P(S_oros/S₆) es 1/4 porque si sabemos que salió un “6”, la probabilidad de que sea de oros es 1/4, ya que hay 4 “6” en la baraja, uno de cada palo).

▶Ejercicio: Lanzo una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener ”cara” o ”6”?
Sol.: ambos sucesos son compatibles (puede salir “cara” y “6” al mismo tiempo):
P(S_cara ∪ S₆) = P(S_cara) + P(S₆) – P(S_cara ∩ S₆) = (1/2) + (1/6) – (1/2) (1/6) = 7/12

◇ Cuando un experimento aleatorio es complejo, podemos tratar de descomponerlo en otros más simples equivalentes conectados por las partículas “y” y “o” aplicando entonces las fórmulas correspondientes de la intersección y la unión de sucesos.

▷Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Vamos a calcular la probabilidad de que “al sacar dos bolas sean del mismo color”. La frase entrecomillada es equivalente a: “sacar dos bolas rojas” o “sacar dos bolas verdes”. La probabilidad pedida viene dada por
P(S₁ ∪ S₂) = P(S₁) + P(S₂) – P(S₁ ∩ S₂)
pero como ambos sucesos son incompatibles se reduce a
P(S₁ ∪ S₂) = P(S₁) + P(S₂)
En este caso:
P(S_2rojas ∪ S_2verdes) = P(S_2rojas) + P(S_2verdes) = (1/5) + (1/5) = (2/5)
(donde hemos hecho uso de que P(S_2rojas) = 1/5 porque P(S_2rojas) = P(S_1,roja ∩ S_2,roja) = (3/6) (2/5) = 1/5, y lo mismo la probabilidad de que salgan dos verdes).

▷Ejemplo: Queremos calcular la probabilidad de que al sacar simultáneamente dos cartas de una baraja española sean oro y espada. El experimento equivale a (“sacar primero un oro” Y “sacar después una espada”) o (“sacar primero una espada” Y “sacar después un oro”), es decir, se trata de una unión de intersecciones de sucesos:

P[(S_1,oro ∩ S_2,espada) ∪ (S_1,espada ∩ S_2,oro)] = P(S_1,oro ∩ S_2,espada) + P(S_1,espada ∩ S_2,oro) = P(S_1,oro) · P(S_2,espada) + P(S_1,espada ) · P(S_2,oro) = (10/40) (10/39) + (10/40) (10/39) = 5/39.

(habiendo tenido en cuenta que los sucesos (S_1,oro ∩ S_2,espada) y (S_1,espada ∩ S_2,oro) son incompatibles).

Probabilidad del suceso contrario

• Si se conoce la probabilidad de un suceso, P(S), puede calcularse la de su contrario, P(S^c), por la fórmula:

P(S) = 1 – P(S^c)

Evidentemente, también es válida la fórmula P(S^c) = 1 – P(S). Una u otra se usan para saber la probabilidad de un suceso cuando es más fácil calcular primero la de su contrario.

▷Ejemplo: Una urna contiene 3 bolas rojas y 3 verdes. Calcularemos la probabilidad de que “al sacar tres bolas alguna sea roja”. El suceso es equivalente a: ”sacar una bola roja o dos rojas o tres rojas”, cuya probabilidad es complicado calcular pues se trata de la unión de tres sucesos. Más fácil es empezar considerando el suceso contrario: ”sacar tres verdes”, o lo que es lo mismo, ”sacar verde la primera” Y ”verde la segunda” y ”verde la tercera”.
P(S_3v) = P(S_1,v ∩ S_2,v ∩ S_3,v) = P(S_1,v) · P(S_2,v / S_1,v) · P(S_3,v / S_1,v ∩ S _2,v) = (3/6) (2/5) (1/4) = 1/20
(Nota: con la expresión P(S_3,v / S_1,v ∩ S _2,v) queremos decir “probabilidad de que la tercera bola sea verde si la primera fue verde y la segunda fue verde”).
La probabilidad del suceso que nos pidieron originalmente es, entonces:
P(S_≥1r) = 1 – P(S_3v) = 1 – (1/20) = 19/20

▶Ejercicio: Lanzo cuatro veces una moneda al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener alguna cruz? (Sol.: La probabilidad de no obtener ninguna cruz (es decir, todas caras) es:
P(S_4caras) = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = 1/16
La probabilidad del suceso contrario (“alguna cruz”) será:
P(S_≥1cruz) = 1 – (1/16) = 15/16

Consejos para resolver problemas de probabilidad

1. Es fundamental escribir bien el espacio muestral, E, es decir, el conjunto de todos los resultados (sucesos) elementales equiprobables del experimento, y es fundamental saber contar su número de elementos.
2. Es fundamental saber extraer del conjunto E los elementos que formarán el subconjunto S (es decir, el suceso que nos interesa), y contarlos.
3. Los problemas complicados pueden abordarse (aunque no es imprescindible) empleando las fórmulas de la unión o la intersección de sucesos y la del suceso contrario.
4. Para contar los elementos del conjunto E y de su subconjunto S correspondiente, cuando éstos son muy numerosos, es muy recomendable recurrir a la Combinatoria. En la mayoría de los casos, para contar los elementos usaremos la fórmula de las combinaciones, pero cuando deba tenerse en cuenta el orden a la hora de escribir resultados del experimento, emplearemos la de las variaciones. Si se duda, emplearemos siempre la de las variaciones.

▷Ejemplo: Resolveremos solo por Combinatoria (sin recurrir a fórmulas de unión, intersección o suceso contrario) el mismo problema ya resuelto anteriormente del cálculo de la probabilidad de “extraer dos bolas del mismo color de una urna que contiene 3 rojas y 3 verdes”. Hay

parejas posibles de bolas a extraer, y de esas,

parejas son de bolas rojas, y otras tantas son de bolas verdes, por lo que la probabilidad de sacar una pareja de rojas (o de verdes) es P = 6/15 = 0,4.
Si hubiéramos contado los elementos utilizando la fórmula de las variaciones obtendríamos el mismo resultado:
|E| = V(6,2) = 30
|S_2r| = V(3,2) = 6
|S_2v| = V(3,2) = 6
⇒ P = 12/30 = 0,4