La propiedad conmutativa es muy útil para evitar errores al efectuar ciertas sumas. Por ejemplo, para facilitar la operación 
podemos cambiar el orden de los números escribiendo
, o, lo que es lo mismo, 
, que es mucho más fácil de interpretar que 
En general, en una suma, el orden en que estén escritos los monomios es irrelevante.
El trinomio 
puede escribirse también 
.
- La propiedad asociativa de la suma puede expresarse así:
, lo que, junto a la propiedad conmutativa, implica que para sumar más de dos sumandos pueden sumarse primero dos cualesquiera de ellos (teniendo en cuenta los signos), el resultado sumarse a un tercero, y así sucesivamente, en cualquier orden.
Para sumar 
da lo mismo sumar 
y restar 
que restar 
y sumar al resultado 
Para sumar 
da lo mismo efectuar primero 
y luego 
; que 
y luego 
que 
y luego 
- Un monomio puede constar de letras, números o números y letras. Sólo se pueden sumar (o restar) aquellos monomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales exponentes.
Se pueden sumar entre sí los monomios 
y 
, pero no 
y 
. De igual modo, se pueden efectuar las siguientes sumas: 
;
; 
;
; pero no cabría sumar 
ni 
ni 
ni 
- Las reglas de la suma de signos son las siguientes:
si los dos números a sumar tienen igual signo, se suman y se deja el mismo signo;
si los dos números a sumar tienen distinto signo, se resta el número mayor menos el menor y se deja el signo del mayor.
; 
- Para multiplicar monomios se multiplican los signos por los signos, los números por los números y las letras por las letras. Lo mismo para dividir.
Las reglas de la multiplicación (y división) de signos son las siguientes:
(tener en cuenta que 
dividido por 
es 
)
; 
(pues 
por 
es 
, como veremos al estudiar las potencias)
- Paréntesis: las primeras operaciones que deben realizarse son las que van entre paréntesis, siempre que sea posible.
Efectuar 
. Sol.: efectuamos primero 
y el resultado lo multiplicamos por 
: 
En 
no es posible efectuar primero el paréntesis porque 
no se puede sumar (no se pueden sumar números y letras).
Respecto a la existencia de signos 
o 
delante de paréntesis las reglas son:
Si un paréntesis va precedido del signo 
puede suprimirse directamente el signo y el paréntesis.
Si un paréntesis va precedido del signo 
puede suprimirse directamente el signo y el paréntesis con la condición de que cambiemos los signos del interior del paréntesis (
por 
y 
por 
).
es lo mismo que 
¿
es lo mismo que 
? (Sol.: sí)
es lo mismo que 
¿
es lo mismo que 
? (Sol.: sí)
- Cuando no se puede operar dentro de un paréntesis, se aplica la llamada propiedad distributiva:
.
En expresiones como 
se aplica así: 
(siempre hay que tener en cuenta los signos).
(Sol.: 
)
(Sol.: 
)
(Sol.: 
)
(Sol.: 
)
Cuando las expresiones son más complejas se aplica la propiedad distributiva de la forma correspondiente, como vemos en el siguiente
en este caso se multiplica el primer monomio del primer paréntesis por todos los del segundo; el segundo del primer paréntesis por todos los del segundo, etc.
aquí se multiplican primero dos paréntesis cualesquiera y el resultado se multiplica por el tercero.
(Sol.: 
)
y 
son primos, pero no lo son 
o 
(los pares se pueden dividir por 
, y 
es divisible por 
)
- Factorizar un número en factores primos es convertirlo en un producto de factores primos.
El número 
puede factorizarse en factores primos como 
Para factorizar un número en factores primos se trata de dividir el número por 
si la división es exacta, se divide de nuevo por 
el resultado anterior, y así hasta que sea posible. Luego se divide el último resultado por 
(si se puede), continuándose hasta que sea posible. Luego se sigue con 
, hasta que el cociente sea 
. El resultado de la factorización es el producto de todos los divisores utilizados.
Factorizar 
y 
Sol.: 
Factorizar 
(Sol.: 
)
- Sacar factor común. Cuando en un polinomio algunos o todos sus monomios tienen factores comunes, éstos pueden extraerse mediante una operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva que se llama extraer factor común, según se ilustra en el siguiente
En 
son factores comunes a los tres monomios 
y 
, lo que es más fácil de ver si reescribimos el polinomio dado así: 
. Estos factores pueden extraerse de cada monomio del siguiente modo:
. Es decir, se extrae de cada monomio lo que es común a los tres, dejando dentro de un paréntesis lo que no es común, manteniendo los signos correspondientes). La prueba de que la operación está bien hecha es que si efectuamos esa multiplicación aplicando la propiedad distributiva llegaremos al polinomio original.
Sacar factor común en 
(Sol.: 
)
Sacar factor común en 
(Sol.: 
)
En el polinomio 
sacar factor común a) 
b) 
a) 
b) 
)
Sacar factor común a) 
; b) 
en 
(Sol.: a) 
; b)
(el tercer monomio no contiene el factor 
, por lo que se deja como está))
- Ejercicios de repaso:
Simplificar 
(Sol.: 
)
Simplificar 
(Sol.: 
)
Simplificar 
(Sol.: 
)
Simplificar 
Sol.: 
)
Efectuar 
(Sol.: 
)
Teniendo en cuenta que, por la propiedad conmutativa, 
, la operación 
¿es una suma o una resta?
(Sol.: Puede considerarse de ambas maneras. Por ello, en matemáticas siempre se suele hablar de ”suma” para englobar a sumas y restas. En realidad restar es sumar un número con otro negativo, es decir: 
)
Sacar factor común a) 
y b) 
en 
(Sol.: 
a) 
b) 
)
