Potencias
Se entiende por potencia una expresión de la forma 
, siendo 
la base de la potencia y 
el exponente.
La mayoría de las propiedades de las potencias se deducen entendiendo bien el concepto de potencia: es un producto de la base por sí misma tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo el significado de 
es:
. Y 
.
Multiplicación y división de potencias
- El producto de dos potencias de igual base,
, se soluciona así: 
(ya que 
)
Simplificar 
(Sol.: 
; en este caso y otros en el que hay potencias de distinta base se multiplican entre sí sólo las que tienen la misma base, ya que
)
- El producto de dos potencias de distinta base e igual exponente,
, se puede tratar así: 
Simplificar 
(Sol.: 
)
Simplificar 
(Sol.: 
)
- El cociente de dos potencias de igual base,
, se soluciona así: 
resultado que podemos entender si aplicamos el concepto de potencia: 
. (Nota: una fracción como 
, en la que tanto en numerador como en denominador sólo existen factores multiplicativos se simplifica eliminando tantos factores comunes en el numerador como en el denominador. Si existen sumas y restas como en 
no puede hacerse una eliminación de este tipo. Por ejemplo: 
, y 
equivale a 
. Sin embargo, 
, que no equivale a 
)
(Sol.: 
)
(Sol.: 
)
(Sol.: 
)
(Sol.: 
)
- El cociente de dos potencias de distinta base e igual exponente,
, se puede tratar así: 
Simplificar 
teniendo en cuenta que 
(Sol.: 
)
¿Es cierto que 
? (Sol.: sí, pues 
)
Potencia de un producto (y cociente) y de una suma (y resta)
- La potencia de un producto de factores es el producto de las potencias de esos factores. Por ejemplo:
La potencia de un cociente de factores es el cociente de las potencias de esos factores .Por ejemplo:
Resolver la potencia 
(Sol.: 
)
- La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos. Se puede calcular convirtiéndola en un producto de la siguiente manera, por:
Efectuar la potencia 
(Sol.: 
)
Efectuar la potencia 
(Sol.: 
)
Potencias con exponente negativo
Una expresión como 
es igual que 
, según podemos demostrar en el siguiente
Simplificar 
. Si aplicamos la regla 
, pero si tenemos en cuenta que 
, entonces 
. Como ambos procedimientos son correctos, las dos soluciones han de ser equivalentes; por lo tanto 
(y viceversa: 
)
Esta propiedad permite establecer equivalencias como 
, 
, 
, y 
.
Una expresión como 
puede transformarse de muchas formas, como: 
, 
, 
o 
.
En la práctica, dada una fracción, pueden pasarse factores del numerador al denominador, y viceversa, con sólo cambiar de signo su exponente. Esto sólo es válido para factores multiplicativos, no para sumandos
Se puede transformar 
en 
, pero no 
en 
Pasar todos los factores del denominador al numerador en 
(Sol.: 
)
Pasar todos los factores del denominador al numerador en 
(Sol.: 
Ayuda: téngase en cuenta que 
es un factor que multiplica a 
, pudiéndose, pues, cambiar del denominador al numerador el paréntesis completo elevado a 
. Una transformación no correcta sería 
)
Pasar todos los factores del denominador al numerador en 
(Sol.: 
)
Pasar todos los factores del denominador al numerador en 
(Sol.: 
)
Pasar todos los factores del numerador al denominador en 
(Sol.: 
)
Convertir el producto 
en una fracción de modo que el segundo factor aparezca en el denominador (Sol.: 
)
Convertir el producto 
en una fracción de modo que el primer factor aparezca en el denominador (Sol.: 
)
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
? (Sol.: sí)
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
? (Sol.: sí, pues 
)
Quitar el denominador en 
(Sol.: 
)
Teniendo en cuenta que, por ejemplo, 
, ¿puede decirse que una división de factores puede transformarse en una multiplicación, es decir, que una división es en realidad una multiplicación (y viceversa)? (Sol.: sí)
Simplificar 
a) aplicando la fórmula 
, y b) transformando la fracción 
en un producto y luego aplicando 
(Sol.: en ambos casos, 
o, lo que es lo mismo, 
Simplificar 
, dejando el resultado a) en el denominador, y b) en el numerador
(Sol: 
a) 
a) 
)
Potencia de potencia
Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes. Es decir: 
.
Resolver 
.
, lo que se puede demostrar desarrollando las potencias: 
)
Efectuar y simplificar 
(Sol.: 
)
Raíces
Una raíz tipo 
se puede transformar en potencia así: 
Viceversa: una potencia de exponente fraccionario como 
se puede transformar en raíz así: 
.
Las operaciones más complejas con raíces se pueden resolver teniendo en cuenta ambas transformaciones.
Resolver 
(Sol.: 
Ayuda: 
)
Demostrar que 
teniendo en cuenta que 
y que 
puede escribirse también 
(Sol.: 
)
Multiplicación y división de raíces
- Si tienen el mismo índice, el producto de dos raíces es la raíz del producto de los radicandos.
Si tienen el mismo índice, el cociente de dos raíces es la raíz del cociente de los radicandos.
- Si no tienen el mismo índice, lo mejor es transformarlas en potencia, operar con las potencias y pasar el resultado final de nuevo a raíz.
Efectuar el producto: 
. 
Ayuda: 
; 
; y recordar que para multiplicar ambas potencias debe dejarse la misma base y sumar los exponentes) 
(Sol.: 
)
Raíz de un producto (y cociente) y una suma (y resta)
- La raíz de un producto es el producto de las raíces. La raíz de un cociente es el cociente de las raíces.
Simplificar 
(Sol.: 
)
- La suma (resta) de dos raíces no es la suma (resta) de las mismas.
No cabe sumar de forma simple 
Sumar 
(Sol.: 
. Ayuda: en este caso se puede hacer la suma porque se puede sacar factor común 
)
Raíz de raíz
Una expresión como 
(es decir, una raíz de raíz) se resuelve así: 
Efectuar y simplificar 
Efectuar y simplificar 
(Sol.: 
)
Pasando primero las raíces a potencias, comprobar que 
(Sol.: 
)
Simplificación de raíces
A veces es conveniente ”sacar todo lo que se pueda de una raíz”.
Extraer todo lo posible de la raíz 
usando las reglas vistas hasta ahora: 
Extraer todo lo posible de la raíz 
(Sol.: 
. Ayuda: tener en cuenta que 
y que 
)
Extraer todo lo posible de la raíz 
(Sol.: 
)
Extraer todo lo posible de la raíz 
(Sol.: 
; Ayuda: tener en cuenta que 
)
Extraer todo lo posible de la raíz 
(Sol.: 
)
Extraer todo lo posible de la raíz 
(Sol.: 
; Ayuda: 
)
En la práctica, siempre que dentro de la raíz sólo haya factores multiplicativos o cocientes, se pueden sacar todas las potencias cuyo exponente coincida con el índice de la raíz. Si el exponente es mayor, puede descomponerse la potencia en un producto de modo que uno de sus factores tenga exponente que coincida con el índice de la raíz.
Extraer todo lo posible de la raíz 
Racionalización
No es costumbre dejar una raíz en el denominador de una fracción. Por ello, cuando aparece se efectúa la operación ”racionalización” para quitarla, según se ilustra en los siguientes ejemplos.
Racionalizar 
Si en el denominador hay una raíz cuadrada simple, se multiplica numerador y denominador por la raíz 
: 
)
Racionalizar 
Si la raíz no es cuadrada multiplicaremos numerador y denominador por la raíz del denominador elevada a un exponente que será una unidad menos que el índice de la raíz:
)
Racionalizar 
. Si existe un binomio en el denominador, se multiplica arriba y abajo por el conjugado del binomio (que es el mismo pero con el signo central cambiado).
Racionalizar 
(Sol.: 
)
Racionalizar 
(Sol.: 
)
