Para evitar errores típicos…
El signo de multiplicar
El signo de multiplicar suele escribirse 
o 
, y a veces no se escribe.
Expresiones como 
o como 
son multiplicaciones (pueden escribirse también 
, 
; 
, 
). También lo son, por ejemplo, 
, 
o 
, en las que 
multiplica, respectivamente, a lo que va entre paréntesis, al numerador de la fracción y al contenido de la raíz, y podrían escribirse también: 
, 
; 
, 
; 
, 
Donde es imprescindible escribir un signo de multiplicación es en productos numéricos
Hay que escribir 
(o 
), para no confundir con el número 
La importancia de los paréntesis
Los paréntesis se usan para indicar prioridad a la hora de operar o para agrupar una serie de términos señalando así que están sometidos a la misma operación.
- En ocasiones no se escriben paréntesis explícitamente, por lo que hay que saber que:
un producto o un cociente se entiende que va dentro de un paréntesis: 
es como 
y 
es como 
excepto en expresiones con potencias del tipo 
, en las que la prioridad debe entenderse que la tiene la potencia, es decir, equivalen a 
el numerador y el denominador de una fracción se entiende que van dentro de paréntesis: 
es como 
;
Si al efectuar la suma 
no tenemos en cuenta que 
va entre paréntesis (aunque no se escriba) y que por tanto el signo 
afecta a todo el binomio, podríamos operar (mal) así: 
, cuando lo correcto es:
. No hubiéramos cometido el error si el paréntesis hubiera venido expresado explícitamente: 
una fracción va toda ella dentro de un paréntesis: 
es como 
o, con más detalle: 
;
una raíz equivale a un paréntesis, y también su contenido va dentro de paréntesis: 
es como 
- Prioridad
En las operaciones algebraicas tienen prioridad a la hora de efectuarse las que van dentro de paréntesis, sean éstos explícitos o implícitos. Cuando hay paréntesis anidados (unos dentro de otros) se efectúan primero los más interiores.
Efectuar 
Sol.: 
Efectuar 
Sol.: 
. Deben efectuarse primero los productos, ya que éstos van entre paréntesis, aunque no se hayan escrito explícitamente: 
Efectuar 
Explicitando los paréntesis implícitos: 
; efectuamos primero el paréntesis más interno 
, y luego sumamos 
. El resultado final es 
Efectuar 
. 
Sol.: 
Efectuar 
. Es como si se hubiera escrito 
, cuyo resultado es 
Efectuar 
Es como si se hubiera escrito 
, cuyo resultado es 
Efectuar 
Es lo mismo que 
Efectuar 
Es lo mismo que 
Efectuar 
(Sol.: 
)
Efectuar 
(Sol.: 
)
Efectuar 
(Sol.: 
)
Efectuar 
(Sol.: 
)
Efectuar 
(Sol.: 
. Ayuda: resolver primero el contenido de todos los paréntesis, incluido el implícito que existe en 
)
Efectuar 
(Sol.: 
. Ayuda: no es lo mismo 
que 
; aunque no se suela indicar el paréntesis, hay que tener en cuenta que en expresiones como las de este ejercicio una potencia tiene prioridad sobre un producto; es decir, es como si estuviera escrito 
)
Efectuar 
Sol.: La prioridad la tiene la potencia. Hay que tener en cuenta que el producto consiste en dos factores, uno negativo (
) y otro positivo (
). El resultado es 
. En general, en un producto tipo 
se empieza efectuando 
y el resultado se multiplica por 
. La expresión 
no es lo mismo que 
ni que 
, lo que es fácil de comprobar con números
Efectuar 
(Sol.: 
. Ayuda: orden de prioridades: 1) potencia, 2) producto, 3) suma)
Efectuar 
(Sol.: 
)
En ocasiones no se puede respetar la prioridad y hay que operar no dentro de los paréntesis, sino sobre ellos. Por
En 
no se puede operar dentro del paréntesis porque no cabe sumar números con letras. Pero sí se puede multiplicar 
por el paréntesis aplicando la propiedad distributiva: 
Efectuar 
no se puede sumar con
. No cabe, pues, efectuar nada, aunque si nos conviene podemos aplicar la propiedad distributiva: 
Efectuar 
. Sol.: 
Efectuar 
. Sol.: 
En el denominador debe resolverse primero el paréntesis, y el resultado multiplicarlo por 
Efectuar 
. 
No se pueden resolver los paréntesis previamente (pues no cabe sumar números con letras), pero se puede aplicar la propiedad distributiva: 
Efectuar 
(Sol.: 
)
Efectuar 
(Sol.: 
)
- No confundir…
Los paréntesis (tanto explícitos como implícitos) se usan también para no confundir expresiones como:
con 
. La segunda equivale a 
y el paréntesis responde a que no pueden ir un signo de multiplicación y de resta seguidos. Un ejemplo numérico: no es lo mismo 
(
) que 
(
)
con 
. Por ejemplo: no da lo mismo 
(
) que 
(
)
con 
. Ejemplo: no da igual 
(
) que 
(
)
con 
. Véamoslo con números: no es lo mismo 
(
) que 
(
)
con 
. Con números: 
no es lo mismo que 
con 
. Con números: 
con 
. Escribir 
es como escribir 
Ejemplo: 
no es lo mismo que 
con 
. Escribir 
es como 
Ejemplo: 
no es lo mismo que 
con 
Hay que tener en cuenta que el numerador es un paréntesis; el signo 
afecta, pues, tanto a 
como a 
en la primera fracción; en la segunda, sólo a 
. Con números: 
; 
con 
Hay que tener en cuenta, de nuevo, que el numerador es un paréntesis; por ello, la fracción primera puede escribirse así: 
, o, mejor, así: 
(ya que un número que multiplica a una fracción se entiende que multiplica a todo el numerador de ésta). Un ejemplo numérico: 
; 
con 
(ejemplificado aquí con la función 
(coseno), pero válido igualmente para otras funciones trigonométricas). Con 
se quiere decir en realidad 
Cambio de signo de un producto y una suma
- Para cambiar el signo de un producto de factores se cambia el de todo el conjunto, no el de cada factor. Téngase en cuenta que cambiar el signo es multiplicar por
Cambiar el signo de 
. La solución es 
(no 
)
Demostrar que “cambiar el signo de 
” no da como resultado 
(Sol.: 
. Por lo tanto, 
no es “
cambiado de signo”. Por contra, “
cambiado de signo” es 
, o bien 
o 
)
- Un producto de factores negativo admite distintas formas de expresarlo.
, etc.
- Para cambiar el signo de un polinomio se cambia el de todos y cada uno de sus monomios.
Cambiar el signo de 
. Sol.: se trata de multiplicar por 
: 
(lo que en la práctica equivale a cambiar el signo de cada uno de los sumandos o monomios)
Cambiar el signo de 
(Sol.: 
)
Demostrar que 
cambiado de signo no es 
(Sol.: si operamos 
obtenemos 
, y si operamos 
obtenemos 
, que evidentemente no es ”
cambiado se signo” )
Si nos indican que multipliquemos 
por 
, ¿podremos escribirlo así: 
? (Sol.: No; en primer lugar porque ello lleva a confusiones (no deben ir dos signos seguidos), y en segundo porque esa forma indicaría que 
multiplica sólo a
. La forma correcta de escribirlo es 
)
Formas equivalentes de fracciones
Una fracción se puede escribir de muchas formas equivalentes.
Todas las formas siguientes de la fracción 
son equivalentes: 
, etc.
Del mismo modo, un signo 
delante de una fracción afecta al numerador o al denominador, pero no a los dos al mismo tiempo
La fracción 
puede expresarse también como 
y 
Las formas siguientes de la fracción 
son equivalentes: 
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
?(Sol.: sí)
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
?(Sol.: sí, porque 
)
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
?(Sol.: no, son opuestas (es decir, tienen distinto signo) )
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
?(Sol.: no, son opuestas )
¿Son equivalentes las fracciones 
y 
?(Sol.: no)
Cancelaciones
En una fracción pueden cancelarse factores multiplicativos comunes en numerador y denominador, pero no pueden cancelarse sumandos. En la práctica pueden cancelarse aquellas cantidades comunes del numerador y del denominador que estén multiplicando a todo lo demás.
Cancelar lo posible en 
. 
Sol.: 
Cancelar lo posible en 
Sol.: 
No cabe cancelar el ”
”, ya que la expresión equivale a 
, lo que nos permite comprobar que el ”
” del numerador no multiplica a todo el resto del numerador, sino sólo a 
(aunque en el denominador el ”
” sí multiplica a todo el resto)
Cancelar lo posible en 
. 
Sol.: 
Sólo existen factores multiplicativos, luego pueden cancelarse arriba y abajo los comunes: 
Cancelar lo posible en 
. 
Sol.: 
No puede cancelarse nada directamente. (Lo más que se puede hacer, si en algún caso conviene, es aplicar la propiedad distributiva de la división; aquí, de esta manera:
Cancelar lo posible en 
(Sol.: 
Ayuda: tener en cuenta que 
y que cuando en el numerador ”desaparece todo” por efecto de la cancelación, hay que dejar un 
, que siempre es un factor implícito tanto en numerador como en denominador, aunque no vaya escrito explícitamente)
Cancelar lo posible en 
(Sol.: 
Nota: la cancelación es posible porque 
constituye un factor multiplicativo en conjunto)
Cancelar lo posible en 
(Sol.: 
Nota: la cancelación es posible porque 
constituye un factor multiplicativo en conjunto. Además, se trata de una cantidad, 
, dividida por sí misma, lo que es igual a 
)
Dada la fracción 
, resolverla a) efectuando en numerador y denominador las operaciones correspondientes y dividiendo luego; b) cancelando lo posible 
(Sol.: 
en ambos casos, lo que prueba que la cancelación es correcta )
Dada la fracción 
, resolverla efectuando en numerador y denominador las operaciones correspondientes y dividiendo luego; y comprobar que una cancelación de factores en este caso no es posible 
(Sol.: El resultado de la fraccion es 
; si hubiéramos cancelado las cantidades iguales habríamos obtenido otro resultado (
) )
Dada la fracción 
, resolverla a) efectuando en numerador y denominador las operaciones correspondientes y dividiendo luego; b) cancelando lo posible 
(Sol.: 
en ambos casos, lo que prueba que la cancelación es correcta Cuando se tengan dudas de si cierta cancelación dentro de una fracción que contiene letras es correcta, es útil ponerse un ejemplo alternativo con sólo números, para comprobar si las cancelaciones que se han practicado conducen al mismo resultado que el obtenido resolviendo la fracción operando sin cancelar nada)
Simplificar la fracción 
a) sacando factor común lo posible en el numerador; b) aplicando la propiedad distributiva de la división (Sol.: 
en ambos casos)
Extracción de factores de raíces
Pueden extraerse fácilmente factores multiplicativos (o divisores) del interior de una raíz, pero no sumandos. (Dicho de otro modo: la raíz de un producto (o cociente) es el producto (o cociente) de las raíces, pero la raíz de una suma (resta) no es la suma (resta) de las raíces, como ya se ha dicho.) Para extraer factores multiplicativos hay que tener en cuenta que la raíz de índice 
de un número 
elevado a 
da 
, es decir: 
, pues raíz y potencia se cancelan entre sí, al ser operaciones inversas.
Extraer lo posible de la raíz 
Sol.: 
Extraer lo posible de la raíz 
. 
Sol.: 
(ya que 
)
Extraer lo posible de la raíz 
. 
Sol.: 
(ya que 
, según una propiedad de las raíces que hemos visto)
Extraer lo posible de la raíz 
. 
Sol.: 
Extraer lo posible de la raíz 
. 
Sol.: 
Extraer lo posible de la raíz 
. 
Sol.: 
No es posible extraer nada directamente
Extraer lo posible de la raíz 
. 
Sol.: 
(pues 
es en conjunto un factor multiplicativo)
Extraer lo posible de la raíz 
.
(Sol.: 
)
Extraer lo posible de la raíz 
(Sol.: 
)
Resolver la raíz 
operando dentro de ella para comprobar que no se pueden sacar 
y 
directamente (Sol.: 
; si hubiéramos extraído 
y 
directamente habríamos obtenido 
, lo que prueba que una extracción de sumandos no es posible).
Extraer lo posible de la raíz 
(Sol.: 
)
Extraer lo posible de la raíz 
(Sol.: 
)
