Números

Tipos de números

Naturales ():

Enteros (): todos los naturales, y además el y los naturales con signo negativo:

Racionales (): todos los enteros, y además los del tipo (siendo y enteros): Pueden convertirse en decimales efectuando la división. Estos decimales procedentes de racionales o tienen un número finito de cifras decimales o son infinitas, pero periódicas.

Reales (): todos los racionales, y además los llamados irracionales, como Tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente.

---

Operaciones con fracciones

Ya las hemos visto en el tema introductorio, pero repasaremos sus operaciones con algunos ejemplos.

Multiplicar (Sol.: )

(se multiplican en cruz)

Dividir (Sol.: )

(el es )

Sumar (Sol.: )

(se multiplican entre sí los números “extremos” () y el resultado se coloca en el numerador; y se multiplican entre sí los números “medios” y el resultado se pone en el denominador)

Simplificar (Sol.: el denominador puede reescribirse como , así que la operación es )

Una forma alternativa de sumar fracciones es poner como denominador del resultado el producto de todos los denominadores y como numerador la suma de los productos de cada numerador por todos los denominadores excepto el propio. Por ejemplo: . Otro ejemplo:

Sumar por el mismo método que en el ejercicio anterior (Sol.: )

---

Ecuaciones

---

Intervalos

• Consideremos una recta como la de la figura:

—-,——,——,——,——,===,====,——,——,——-,——-,——-,——, –

Cada uno de los infinitos puntos que forman la recta representa cada uno de los infinitos números reales que existen.

• Se considera ”mayor” () todo número que esté a la derecha de uno dado en esa recta, y menor () todo el que esté a la izquierda.

se lee ” es mayor que ” y es equivalente a escribir que se lee ” es menor que ”;;;

Otros signos de este tipo son y

se lee ” es menor o igual que ”; se lee ” es mayor o igual que ”

• Los segmentos destacados con trazo doble en la recta anterior se llaman intervalos. Representan colecciones de números. Para caracterizarlos se emplea una terminología que ilustramos con los siguientes ejemplos:

se lee “intervalo cerrado entre y “, e indica “todos los números reales entre y “, ambos incluidos

se lee ”intervalo abierto entre y ”, e indica ”todos los números reales entre y ”, ambos excluidos

se lee ”intervalo entre y cerrado por la izquierda y abierto por la derecha”, e indica ”todos los números reales entre y incluido el y excluido el ”. Este intervalo se dice que es semiabierto.

¿Qué significa ? (Sol.: se lee ”intervalo entre y abierto por la izquierda y cerrado por la derecha”, e indica ”todos los números reales entre y excluido el pero incluido el ”)

¿Qué significa ? (Sol.: se lee ”intervalo entre y abierto por la izquierda y cerrado por la derecha”, e indica ”todos los números reales entre y excluido el pero incluido el ”)

Para indicar que un número cualquiera está dentro del intervalo escribiremos (se lee “ pertenece al intervalo ), lo que también se puede indicar así:

¿Qué significa ? (Sol.: con ello queremos referirnos a todos los números que están en el intervalo cerrado )

¿Qué significa ? (Sol.: con ello nos referimos a todos los números que están en el intervalo )

Para referirnos a un número cualquiera mayor o igual que escribiremos o bien )

¿Qué significa ? (Sol.: todos los números reales que hay entre y , éste último incluido)

Se emplea el símbolo para unir intervalos. Según eso, con queremos referirnos a todos los números reales excepto el

¿Qué significa ? (Sol.: todos los números reales que hay entre y , éste último excluido, más los que hay entre y , incluido el y excluido el )

---

Potencias y raíces

• Aunque ya las vimos en el capítulo introductorio, repasaremos aquí con ejemplos y ejercicios las propiedades principales de potencias y raíces, todas deducibles de la definición de potencia y de dos propiedades fundamentales:

La propiedad fundamental de las potencias es su propia definición. Por ejemplo:

• Con éstas tres propiedades es fácil deducir las demás, por lo que permiten resolver casi todos los problemas de potencias sin más conocimientos. Lo veremos con ejemplos y ejercicios.

Se sabe que . Aplicarlo a y demostrarlo. Sol.: . Demostración:

Se sabe que . Aplicarlo a y demostrarlo. Sol.: . Demostración:

Se sabe que . Aplicarlo a y demostrarlo. (Sol.: . Demostración: )

Se sabe que . Aplicarlo a y demostrarlo. (Sol.: . Demostración: )

Se sabe que . Aplicarlo a y demostrarlo. (Sol.: . Demostración:

Todas las propiedades de las potencias pueden considerarse a la inversa. Así, la propiedad podemos considerarla también . Aplicarlo a y demostrarlo. (Sol.: . Demostración: )

Sabiendo que demostrar que cualquier número elevado a es (Sol.: Pero.también (pues un número dividido por sí mismo da ). Por tanto, )

Partiendo de la propiedad de las raíces y la de las potencias , demostrar que Sol.:

Partiendo de la propiedad de las raíces y la de las potencias , demostrar que Sol.:

Conociendo que y las propiedades de las potencias y la propiedad de las raíces , simplificar (Sol.: Ayuda: tener en cuenta que , pues )

Multiplicar . Sol.: aunque son potencias de distinta base y no existe regla directa para multiplicarlas, téngase en cuenta que . Por tanto:

Multiplicar (Sol.: )

Racionalizar . Sol.:

Racionalizar (Sol.: )

Racionalizar . Sol.: En casos como éste (binomio en el denominador) se racionaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, que es el mismo binomio pero con el signo central cambiado:

Racionalizar (Sol.: )