Ecuaciones
Ecuaciones de primer grado
Una ecuación consta de dos miembros separados por un signo 
Una ecuación de primer grado se resuelve, básicamente siguiendo las reglas:
-
simplificar al máximo en los dos miembros, quitando los paréntesis si existen;
-
quitar las fracciones (multiplicando todos los monomios por el mínimo común múltiplo);
-
pasar a un miembro todos los monomios que contengan la incógnita (al cambiar de miembro, los monomios positivos cambian a negativos, y los negativos, a positivos)
-
pasar el número que acompañe a la incógnita al otro miembro, dividiendo (si multiplica a la incógnita) o multiplicando (si está dividiendo)
Una vez resuelta, debe probarse si el resultado es correcto; para ello se sustituye el valor hallado para la incógnita en la ecuación original y se comprueba si la igualdad se satisface. Veremos todo esto con algunos ejemplos y ejercicios.
Resolver la ecuación 
Sol.: 
. Prueba: sustituimos el valor hallado para la 
en la ecuación original: 
; es fácil ver que la igualdad se satisface
Resolver 
Sol.: 
Prueba: 
Resolver 
Sol.: 
Prueba: 
Resolver 
Sol.: 
Prueba: 
Resolver 
(Sol.: 
)
Resolver 
Sol.: 
Multiplicaremos por el 
(
) ambos miembros de la igualdad, con lo que desaparecerán los denominadores: 
Prueba: 
Resolver 
(Ayuda: a la hora de simplificar fracciones como 
actuar así: dividir primero 
entre 
y el resultado multiplicarlo por 
; esto es posible en virtud de la propiedad conmutativa: el orden no altera el producto)(Sol.: 
)
Inecuaciones simples
Las inecuaciones se diferencian formalmente de las ecuaciones en que en vez del símbolo 
entre ambos miembros figura alguno de desigualdad, como 
, 
, 
o
.
Las reglas para resolverlas son prácticamente las mismas, pero ha de tenerse en cuenta que si se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Veamos un
Resolver 
Para quitar fracciones y al mismo tiempo dejar positivo el monomio que contiene a la 
vamos a multiplicar por
(es decir, el 
cambiado de signo). Como multiplicamos por un número negativo, habremos de invertir la desigualdad, cambiando 
por 
: 
La solución es, pues, “todo número menor o igual que 
“
Resolver 
(Sol.: 
)
Resolver 
(Ayuda: en las desigualdades, siempre que el monomio de la 
sea negativo conviene multiplicar todo por 
para hacerlo positivo, sin olvidar cambiar el sentido de la desigualdad) (Sol.: 
)
Ecuaciones de segundo grado
-
Son del tipo
Tienen dos soluciones, que se calculan así:
Resolver 
Sol.: se escribe la ecuación de manera que tenga la forma 
y luego se aplica la fórmula indicada:
; 
Las dos soluciones se obtienen tomando primero el signo 
y luego el 
de esa expresión: 
. Prueba: 
; 
Resolver 
(Sol.: 
)
-
Se llaman ecuaciones bicuadradas las del tipo
. Es decir, son aquellas en que encontramos a la 
de la ecuación elevada a las potencias 
y 
(exclusivamente) Se solucionan haciendo 
, con lo que la ecuación original quedará de segundo grado en 
. Lo vemos en el siguiente
Resolver 
Sol.: 
; las soluciones son 
y 
. 
Como 
, extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros: 
; por tanto, las soluciones de
serán: 
, 
,
y 
(estas dos últimas soluciones son “números complejos”, que se estudiarán en el capítulo 9). Prueba: 
; 
; 
;
)
Resolver 
(Sol.: 
)
Logaritmos
-
El logaritmo en base
de 
es 
si se cumple que 
porque se cumple que 
porque se cumple que 
porque se cumple que 
Calcular 
(Sol.: 
, porque 
)
-
Los logaritmos tienen tres propiedades fundamentales:
que permiten calcular logaritmos de algunos números si se conocen los de otros:
Calcular 
sabiendo que 
. Sol.: 
Calcular 
dando por hecho que conocemos el valor de 
(Sol.: 
)
Conocidos los valores de 
y 
; ¿cuál es el 
en función de ellos? Sol.: 
-
Otras propiedades son:
La expresión 
no tiene solución
El logaritmo de un número negativo no está definido en el campo de los números reales
El logaritmo de 
es 
en cualquier base
El logaritmo de 
en base 
es 
¿Cuánto vale 
, siendo 
? Sol.: No está definido (no existe) en el campo de los números reales
-
Hay un tipo de logaritmos cuya base es el número irracional
(que vale, aproximadamente, 
). Se llaman neperianos.
¿Cuánto vale 
? Sol.: 
, pues 
¿Cuánto vale 
? Sol.: 
, pues 
-
La operación inversa del logaritmo se llama antilogaritmo. El antilogaritmo de
en base 
es 
¿Cuál es el antilogaritmo de 
en base 
? Sol.: 
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
-
En ciertas ecuaciones aparecen logaritmos. En general, se resuelven teniendo en cuenta las propiedades vistas.
Resolver la ecuación 
Sol.: 
;
;
(aquí hemos aplicado el antilogaritmo, es decir, si 
, eso implica que 
); 
Prueba:
Resolver la ecuación 
Sol.: 
Prueba: 
Resolver la ecuación 
Sol.: 
. Si 
esto implica lógicamente que 
; en nuestro caso: 
dividiendo ahora ambos miembros por 
: 
(Nota: esta última ecuación tiene también la solución 
, pero no es aplicable porque 
no tiene solución). Prueba: 
, pues 
Si se cumple que 
¿es cierto que 
? Sol.: No, y podemos comprobarlo con un ejemplo numérico: se cumple que 
, y no por eso es cierto que 
(Sí es cierto que si
, esto implica que 
(según una de las propiedades vistas), y de aquí, suprimiendo logaritmos: 
, lo que podemos comprobar con un ejemplo numérico).)
-
Ciertas ecuaciones en que la incógnita figura como exponente en una potencia requieren a menudo de los logaritmos para ser solucionadas. Se llaman exponenciales. Veremos un
Resolver la ecuación exponencial 
Sol.: se puede solucionar así: 
ahora se hace 
y queda: 
, cuyas soluciones son 
y 
; por tanto
y 
Tomamos logaritmos en la primera igualdad: 
(también deberían tomarse logaritmos en la segunda, pero en este caso no encontramos como solución un número real porque la expresión 
no está definida en el campo de los números reales. La prueba de que 
no tiene solución en el campo de los números reales es que si se eleva 
a cualquier número real 
, positivo o negativo, siempre se obtiene un resultado positivo, nunca 
. Por otra parte, la prueba de que la solución hallada para esta ecuación (
) es válida es: 
(úsese calculadora para comprobarlo)
