Determinantes
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Existen muchas operaciones a realizar sobre matrices (sumarlas, multiplicarlas entre sí, multiplicarlas por un número, etc.). Una de ellas se llama determinante, y sólo se aplica a matrices cuadradas. Esta operación se indica con el símbolo
El resultado de un determinante es un solo número.(o una letra).
Métodos generales de resolución de determinantes
Un determinante se resuelve según las reglas que veremos a continuación, que dependen del orden de la matriz correspondiente.
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El determinante de una matriz cuadrada de orden
es el único número que contiene la matriz.
El determinante de la matriz 
es: 
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El determinante de la matriz cuadrada de orden
: 
se resuelve así: 
El determinante de la matriz 
es: 
Resolver 
(Sol.: 
)
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El determinante de la matriz cuadrada de orden
: 
se resuelve así: 
El determinante de la matriz 
es: 
Resolver el determinante 
(Sol.: 
)
Para facilitar el cálculo de determinantes 
existe una regla mnemotécnica:
1) escribir debajo de las tres primeras filas la primera y la segunda;
2) en esa disposición, multiplicar entre sí los tres elementos de la diagonal que arranca (hacia la derecha y abajo) de la casilla “primera fila / primera columna”; luego los de la diagonal paralela inferior a ésta; y finalmente los de la diagonal paralela inferior a esta anterior. Sumar los tres productos. Llamaremos a la suma 
;
3) multiplicar ahora entre sí los tres elementos de la diagonal que arranca (hacia la izquierda y abajo) de la casilla ”primera fila / tercera columna”; luego los de la diagonal paralela inferior a ésta; y finalmente los de la diagonal paralela inferior a esta anterior. Sumar los tres productos. Llamaremos a la suma 
;
4) el resultado del determinante es 
Resolver por las reglas anteriores el determinante 
Sol.: 1) Lo reescribimos así: 
2) 
3) 
4) 
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Dada una matriz, se llama menor complementario de un elemento dado al determinante de la submatriz que queda al suprimir la fila y columna de ese elemento.
El menor complementario del elemento “
” (
) de la matriz 
es: 
¿Cuál es el menor complementario del elemento ”
” de la matriz anterior? (Sol.: 
)
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De cara a una operación que luego se verá, vamos a asociar a cada elemento de una matriz un signo por la posición que ocupa (que será independiente de su signo algebraico).
Para ver qué signo por su posición corresponde a un elemento sumaremos el número de fila y el de columna que ocupa; si la suma es par, el signo por la posición del elemento es 
; si impar, 
El ”signo por su posición” del elemento ”
” de la matriz 
es 
, porque se halla en la fila 
y columna 
(
impar)
¿Qué ”signo por su posición” corresponde al elemento ”
” de la matriz anterior? (Sol.: 
, par; signo 
)
En la práctica, dado un elemento cualquiera de una matriz, los inmediatamente adyacentes en horizontal y vertical tendrán signo por su posición opuesto, y los que están en su misma diagonal, el mismo (como si se tratara de un tablero de ajedrez).
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Un modo general de resolver un determinante de cualquier orden es el siguiente:
1) se escoge cualquier fila (o cualquier columna);
2) se multiplica cada elemento de esa fila (o columna) por su menor complementario.y por el signo por la posición correspondiente (queremos decir: por 
o por 
);
3) se suman algebraicamente los productos anteriores;
Dada la naturaleza del método, se comprenderá que conviene tomar aquella fila o columna que contenga números más sencillos, preferentemente con el máximo número de ceros.
Resolver por el método anterior el determinante 
. Escogeremos la segunda columna (aunque daría lo mismo elegir cualquier otra, o cualquier fila): 
(los determinantes 
obtenidos pueden resolverse por el método directo visto más arriba o volver a aplicar sobre cada uno de ellos el método de los menores complementarios acabado de explicar)
Resolver el determinante 
(Sol.: 
(los determinantes 
obtenidos pueden resolverse por el método directo visto más arriba o volver a aplicar sobre cada uno de ellos el método de los menores complementarios)
