Matrices y determinantes / 3. Determinantes: tratamientos previos para facilitar la resolución

Tratamientos previos en un determinante para facilitar su resolución

• Una combinación lineal de dos o más filas (o columnas) es la suma o resta de dichas filas (o columnas), o de múltiplos de ellas.

En el determinante , la tercera fila es una combinación lineal de las dos primeras, pues se obtiene multiplicando la primera por y restándole la segunda (elemento a elemento)

¿Existe alguna combinación lineal dentro del determinante ? (Ayuda: observar la columna cuarta respecto a las tres primeras.) (Sol.: sí; la cuarta es la suma de las tres primeras)

• Los determinantes tienen importantes propiedades relacionadas con el concepto de combinación lineal:

1. Si existe una combinación lineal dentro de un determinante, el valor del determinante es Dicho de otro modo: un determinante en el que una fila (o columna) es combinación lineal de algunas o todas las filas (o columnas) es igual a .

Comprobar que los determinantes del ejemplo y ejercicio anteriores son

1. Dado un determinante, si cambiamos una fila (o columna) por la suma de ella con una combinación lineal de algunas o todas las demás, el valor del determinante no varía.

Sea el determinante , cuyo valor es . Cambiar la primera columna por la suma de ella con la siguiente combinación lineal: segunda multiplicada por más tercera multiplicada por ; y comprobar que el valor del determinante no varía. Sol.:

Sea el determinante del ejemplo anterior. Cambiar la primera columna por la suma de ella con esta combinación lineal: “segunda columna multiplicada por más tercera columna multiplicada por “, y comprobar que el valor del determinante no varía. (Sol.:)

Sea el determinante del ejemplo anterior. Cambiar la tercera fila por el resultado de restarle a ella la primera y la segunda, y comprobar que el valor del determinante no varía. (Sol.: )

1. Una utilidad de la propiedad anterior es hacer ceros en un determinante. Para facilitar la resolución de un determinante es útil sustituir una fila (o columna) por la suma de ella con una combinación lineal de algunas o todas las demás, de manera que la nueva fila (o columna) así obtenida contenga el máximo número de ceros.

Dado el determinante , si queremos resolverlo por el método de los menores complementarios ello implicará calcular cuatro determinantes . Pero si previamente , podemos simplificar el proceso. Dejaremos las tres últimas filas tal como están, pero la primera la cambiaremos por la suma de ella más la tercera previamente multiplicada por (o, lo que es equivalente, la primera menos la tercera): . De esta forma, hemos “hecho tres ceros” en la primera fila, y si la escogemos para aplicar el método de los menores complementarios, nos ahorraremos el cálculo de tres de los cuatro determinantes (pues irán multiplicados por ):

El determinante , en el que la cuarta fila es combinación lineal (por suma directa) de las tres primeras, es . La razón de ello es que si sustituimos la cuarta por el resultado de ella menos las tres primeras, obtenemos una fila de ceros.

Resolver el siguiente determinante haciendo previamente ceros en él (Ayuda: si sumamos la segunda columna con la tercera y el doble de la cuarta obtenemos (salvo en el último número) la primera) (Sol.: mantendremos las columnas segunda, tercera y cuarta y reescribiremos la primera como el resultado de restar a sus valores los correspondientes a la combinación lineal: “segunda + tercera + doble de cuarta”: (no hemos escrito los determinantes que van multiplicados por ))

Resolver el siguiente determinante haciendo previamente ceros en él (Ayuda: las columnas primera y tercera tienen tres números iguales en las mismas posiciones (marcados en negrita)) (Sol.: mantendremos iguales las columnas segunda, tercera y cuarta, y en vez de la primera escribiremos el resultado de restarle la tercera, con lo que conseguiremos hacer tres ceros:

Después resolvemos el determinante como se ha explicado: (no hemos escrito los determinantes que van multiplicados por ). También podía haberse resuelto el determinante observando la relación entre las filas primera y tercera: tres números de la tercera son triplos de los de la primera en las mismas posiciones. Podríamos hacer ceros ahí dejando intactas la primera, segunda y cuarta filas y restando a la tercera la primera multiplicada por )

La operación de hacer ceros se puede repetir tantas veces como sea necesario, sobre filas y/o columnas.

1. Un determinante con dos filas (o columnas) exactamente iguales, o proporcionales, es igual a .

El determinante es , porque tiene dos columnas iguales (por lo cual, si cambiamos la primera por ella menos la segunda, nos queda una columna de ceros, con lo que, obviamente, el determinante es )

Comprobar que el determinante es . ¿Existe alguna proporcionalidad entre sus filas o columnas?(Sol.: es fácil ver que sus dos columnas son proporcionales. La razón de que sea es que si sustituimos la segunda por el resultado de ella más la primera por , nos queda una columna de ceros)