Funciones simétricas y asimétricas, funciones periódicas, cortes con los ejes
Una función es simétrica respecto al eje
cuando no cambia si sustituimos 
por 
, es decir, 
es simétrica respecto al eje Y, ya que 
. Podemos visualizarlo gráficamente
Una función es periódica cuando cumple que
, siendo
el periodo de la función. Por ejemplo, las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente son periódicas.
(el periodo de la función coseno es 
rad (o 
))
Una función corta al eje
en un punto en que 
, y corta al eje 
en uno o varios puntos que cumplen 
.
Calcular los puntos de corte de la función 
con los ejes. Sol.: Para saber en qué punto corta la función al eje 
hacemos 
. Y para saber en qué punto corta a 
hacemos 
(es decir: 
): 
. 
Los puntos de corte con los ejes son, pues: 
, 
y 
Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos
Una función es creciente cuando va aumentando su valor con
, y decreciente en caso contrario.Una función es creciente en aquellos intervalos en que su derivada primera es positiva, y decreciente si es negativa.
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 
.Sol.: Todo consiste en calcular la primera derivada y estudiar su signo. La derivada es:
, que factorizada es: 
. (raíces: 
, 
y 
). El signo de la derivada según los intervalos en que sus raíces dividen la recta de los números reales es:
Es decir, en 
la función es decreciente (pues la derivada primera es negativa); en 
es creciente; en 
es decreciente y en 
, creciente.
Una función tiene un máximo en el punto en que pasa de ser creciente a decreciente, y un mínimo en el que pasa a ser de decreciente a creciente.
¿Tiene máximo(s) y mínimo(s) la función del ejemplo anterior? (Sí, tiene dos mínimos: en el punto en que 
y en el que 
, y un máximo en 
. Véase la gráfica de la función al principio de este tema para visualizar estos puntos extremos)
Hay un método para calcular directamente máximos y mínimos de una función basado en la siguiente propiedad: la derivada de una función en un punto máximo o mínimo es 
Si además la derivada segunda en ese punto es negativa, el punto es un máximo, y si es positiva, un mínimo. (Si la derivada segunda es 
, el punto puede ser máximo o mínimo, pero no se puede asegurar por este método, y hay que recurrir al estudio del signo de la derivada primera.)
Los puntos extremos de la función 
deben cumplir la condición de que la primera derivada de la función en ellos sea 
: 
Las tres soluciones de esta ecuación son: 
, 
y 
. Calculamos ahora la segunda derivada (
) y el valor de la misma en los tres puntos anteriores: 
(
) 
(
) y 
(
). Esto nos dice que en 
hay un máximo, y en 
y 
, sendos mínimos. Concretamente, los puntos (con sus dos coordenadas) son: máximo: 
; mínimos: 
, 
(los valores de 
de cada punto se calculan sustituyendo los correspondientes valores de la 
en la función original 
). (En este caso, los dos mínimos encontrados son absolutos, pero el máximo es relativo (pues la función adopta valores mayores en otros puntos; ver la gráfica)).
Para calcular el máximo o mínimo de una función dentro de un intervalo cerrado 
se comparan los valores de la función en los máximos y mínimos existentes dentro del intervalo (los cuales se determinan por alguno de los métodos vistos) con los valores de 
y 
, como vemos en el siguiente
Determinar los máximos y mínimos de la función 
en el intervalo 
. Sol.: Aplicando cualquiera de los dos métodos vistos encontramos que esta función tiene un máximo en 
y un mínimo en 
. El valor de la función para 
es 
, y para 
, 
Los valores de 
en los extremos del intervalo son: 
y 
. Por tanto, el mínimo del intervalo está en 
, y el máximo en 
. La gráfica es:
Dos teoremas sobre máximos y mínimos:
Teorema de Rolle: si 
es una función continua en 
y derivable en todo punto dentro de 
de modo que 
, entonces existe al menos un valor 
que está dentro de 
que cumple: 
Teorema del valor medio: si 
es una función continua en 
y derivable en todo punto dentro de 
, entonces existe al menos un valor 
que está dentro de 
que cumple:
