El problema del Chang sobre el volumen de oxígeno que se necesita en cada inspiración/espiración

Uno de los libros de Química General de Raymond Chang plantea el problema que copiamos a continuación, por cuya resolución preguntan muchos alumnos en Internet, y a veces se la dan erróneamente (como aquí o aquí):

Un adulto en reposo precisa casi 240 mL de oxígeno puro/min y tiene una frecuencia respiratoria de 12 veces por minuto. Si el aire inhalado contiene 20% de oxígeno en volumen, y el exhalado 16%, ¿cuál es el volumen de aire por respiración? (Suponga que el volumen de aire inhalado es igual al del aire exhalado.)

En realidad es más un problema de Matemáticas que de Química. Si sustituimos “aire” por pasteles con chocolate a los que el sujeto les quita el chocolate porque no le gusta (el chocolate es como si fuera el nitrógeno del aire) y se queda con el resto del pastel (el oxígeno) y le preguntan qué peso total de alimento ingiere después de comerse un  número determinado de pasteles, tendríamos un problema análogo.

Por lo tanto, como es un problema de Matemáticas, plantémoslo como se plantean muchos problemas de Matemáticas de este tipo: como una ecuación.

Toda ecuación tiene una incógnita. ¿Cuál es la incógnita? Relea el problema y piénselo antes de seguir leyendo lo que sigue.

Como se sabe, la incógnita es siempre lo que preguntan, lo que hay que averiguar. En este problema, lo que hay que averiguar es cuánto volumen de aire se debe inspirar y espirar (en conjunto, respirar). Bien, llamemos a ese volumen x, como se hace en los problemas de matemáticas.

Nos dicen que necesitamos 240 mL de oxígeno puro en cada minuto. Lo que se quiere decir es que ese volumen de oxígeno el el que necesitan las células de nuestro cuerpo, no el volumen que nos entra por la boca, ya que hay que tener en cuenta que no todo el oxígeno que me entra por la boca lo utilizo, pues buena parte de él lo expulso sin haberlo procesado.

Una recomendación cuando no se entiende bien un problema o cómo abordarlo es ponerse algún ejemplo numérico. Eso ayuda al cerebro a “digerir” mejor el problema. En este caso, supongamos que inhalamos 100 mL de aire. De ese volumen, 20 mL son de oxígeno (pues 20 es el 20% de 100). (Los otros 80 mL son, básicamente, nitrógeno, gas inerte que, tal como entra en el cuerpo, sale). En la espiración liberamos esos mimos 100 mL de aire, pero ahora contendrán solo un 16% de oxígeno, o sea, 16 mL (el 16% de 100). Es normal que me entre más oxígeno del que sale, ya que parte del oxígeno lo van a usar mis células y lo van a transformar en dióxido de carbono. Por lo tanto, en cada proceso respiratorio uso 4 mL de oxígeno por cada 100 mL de aire inspirado/espirado.

En el ejemplo anterior hemos supuesto que el volumen respirado es de 100 mL. Pero en realidad no sabemos cuál es; como hemos dicho, esa es la incógnita del problema. Hemos llamado a ese volumen “x”. Razonando igual que antes, pero la x en vez de con 100, y sabiendo que el aire que inhalamos contiene el 20% de oxígeno en volumen, el volumen de oxígeno existente en ese volumen x de aire inhalado será 0,20x. Y el oxígeno que exhalamos en ese mismo volumen será 0,16x. Por lo tanto, el volumen de oxígeno que realmente usamos en cada proceso respiratorio celular es de 0,20x – 0,16x = 0,04x. Pero como hacemos 12 procesos respiratorios al minuto, necesitaremos 0,20x · 12 = 0,48x mL de oxígeno por minuto. La cantidad numérica de oxígeno por minuto que necesitamos la da el enunciado, y es 240 mL/mn. Por lo tanto, basta hacer la siguiente igualación:

0,48x =  240

De ella:   x = 500 mL

Comprobémoslo haciendo el problema al revés. Inhalamos 500 mL de aire en cada inhalación. Ese volumen de aire contiene 100 mL de oxígeno puro (que es el 20% de 500). Después exhalamos otros 500 mL de aire, pero ahora ese aire es menos rico en oxígeno; contiene concretamente 80 mL de oxígeno (16%). Po lo tanto, las células han aprovechado 20 mL de oxígeno. Si repetimos el proceso 12 veces en un minuto, habrán aprovechado 240 mL de oxígeno, que es la cantidad que el enunciado dice que necesitamos por minuto.