Examen de Principios de Química y Estructura – Febrero 2019 (1s) | Soluciones de las preguntas 28, 29 y 30

(BLOQUE 3) 28. (ESTA PREGUNTA Y LAS DOS SIGUIENTES ESTÁN RELACIONADAS) La constante de Rydberg, expresada en cm^-1, vale aproximadamente R = 1,097·10⁵ cm^-1. Sabiendo que la constante de Planck vale 6,626·10^-34 J s y que la velocidad de la luz es 3·10⁸ m/s, expresar la constante de Rydberg en julios.

(A). Aprox. 2,18·10^-24 J
(B). Aprox. 2,18·10^-22 J
(C). Aprox. 2,18·10^-20 J
(D). Aprox. 2,18·10^-18 J

Solución: D. Primero pasaremos cm^-1 al S. I., es decir, a m^-1. Como 1 m = 100 cm, elevando a -1 ambos términos (1 m)^-1 = (100 cm)^-1 o, lo que es lo mismo: 1 m^-1 = 0,01 cm^-1. Por lo tanto, la constante de Rydberg en m^-1 es: 1,097·10⁷ m^-1. Esta unidad corresponde a la magnitud “número de ondas”, representada por ṽ y que es la inversa de la longitud de onda, λ:  ṽ = 1/λ. Como nos piden la constante de Rydberg en una unidad de energía, emplearemos la siguiente conocida fórmula de la energía en química cuántica: E = hν, donde h es la constante de Planck (h = 6,626·10^-34 J s) y ν es la frecuencia del fotón, que a su vez se puede expresar en función de la velocidad de la luz, c ( = 3·10⁸ m/s), y de la longitud de onda, λ, así: ν = c/λ. Con esta expresión y la relación escrita antes entre longitud de onda y número de ondas, llegamos fácilmente a E = h c ṽ.

Como el producto hc vale 1,986·10^-25 J m, podemos escribir: E = (1,986·10^-25 J m) ṽ. Por lo tanto, para un valor de la constante de Rydberg en número de ondas ṽ = 1,097·10⁷ m^-1, la energía asociada, expresada en julios, queda: E = (1,986·10^-25 J m) (1.097·10⁷ m^-1) = 2,18·10^-18 J.

29. (ESTA PREGUNTA, LA ANTERIOR Y LA SIGUIENTE ESTÁN RELACIONADAS) Calcular la longitud de onda de la radiación emitida cuando, en un átomo de hidrógeno, el electrón cae desde la órbita de número cuántico principal 100 a la órbita de número cuántico principal 99 (la ecuación de Rydberg es:
ν = Rc [(1/n₁²) – (1/n₂²)]).

(A). Aprox. 0,0018 cm
(B). Aprox. 0,09 cm
(C). Aprox. 0,22 cm
(D). Aprox. 4,49 cm

Solución: D. La frecuencia y la longitud de onda de un fotón están relacionadas por ν = c/λ. Por lo tanto, la ecuación de Rydberg también se puede escribir así: 1/λ = R [(1/n₁²) – (1/n₂²)]), siendo n₁ el número cuántico de la órbita de energía más baja) y n₂ el de la órbita de mayor energía (se cumple, pues: n₁ < n₂. Basta aplicar la fórmula con los datos proporcionados y tomando del valor de R del ejercicio anterior: 1/λ = R [(1/n₁) – (1/n₂)]) = 1,097·10⁵ cm^-1·[(1/99²) – (1/100²)]) @ 0,2227 cm^-1. Por lo tanto, la longitud de onda será aproximadamente igual a 4,49 cm.

(Como curiosidad, a los átomos de hidrógeno o de otro elemento que están excitados de tal manera que uno o varios electrones se encuentran en estados con un número cuántico principal tan alto como los manejados en este problema se los conoce como átomos de Rydberg y se estudian mucho en Astronomía. Todos los átomos que cumplen esta característica se comportan de forma parecida al átomo de hidrógeno independientemente del elemento del que se trate porque, aunque tengan muchos protones en su núcleo, sus electrones apantallan la influencia del núcleo, de tal modo que un electrón solitario a niveles tan altos de excitación prácticamente sufre la misma (escasa) influencia del núcleo que un electrón del hidrógeno).

30. (ESTA PREGUNTA Y LAS DOS ANTERIORES ESTÁN RELACIONADAS) ¿Cuánta energía sería necesaria para ionizar un átomo de hidrógeno que se encuentra en el estado electrónico correspondiente a n = 100?

(A). 100 veces la energía que sería necesaria si estuviera en el estado n = 1
(B). La centésima parte de la energía que sería necesaria si estuviera en el estado n = 1
(C). Prácticamente infinita
(D). Aprox. 2,18·10^-22 J

Solución: D. Ionizar un átomo de hidrógeno consiste en dar suficiente energía al electrón para llevarlo al infinito. Esa misma energía se emitiría si el electrón llevado al infinito cayera en el nivel de partida.

En este problema, lo que hay que calcular es la energía que se emite cuando el electrón cae desde el estado correspondiente a n₂ = ¥ al estado correspondiente a n₁ = 100. Para ello necesitamos la ecuación de Rydberg (1/λ = R [(1/n₁²) – (1/n₂²)]), que expresaremos en función de la energía teniendo en cuenta que E = hν y que ν = c/λ, lo que nos lleva a E = hc/λ. De aquí: E/hc = 1/λ. Sustituyendo en la ecuación de Rydberg: E/hc = R [(1/n₁²) – (1/n₂²)]. Finalmente: E = Rhc [(1/n₁²) – (1/n₂²)]. Todo lo que hay que hacer es sustituir datos. El resultado es: E = 1,097·10⁷ m^-1·6,626·10^-34 J s·3·10⁸ m/s [1/100² – 1/¥²] = 2,18·10^-22 J. Si el estado inicial fuese n₁ = 1, la energía necesaria sería 2,18·10^-18 J. Por lo tanto, la energía obtenida es la diezmilésima parte de la energía que sería necesaria si el estado inicial fuese n₁ = 1.