Funciones
Establecer una aplicación entre los conjuntos 
y 
es relacionar los elementos de 
con los de 
mediante alguna ley.
Si esta ley es algebraica, la aplicación es una función.
se llama conjunto original, y 
, conjunto imagen.
Refiriéndonos a funciones, a los elementos del conjunto original los llamaremos, en general, 
, y a los del imagen, 
(lo que se lee «efe de x» o «imagen de 
a través de la función 
«)
Dados 
(es decir, los números naturales) y 
(sus cuadrados), puede constatarse claramente la siguiente relación entre los elementos de ambos conjuntos: 
(es decir, elemento 
cuadrado del elemento» (
es el cuadrado de 
el de 
, etc). En este caso, la relación, que es una función, se escribe simbólicamente: 
. Con ello se quiere decir que cada elemento del conjunto imagen, 
está relacionado con un elemento 
del conjunto original mediante la ley algebraica 
Dados el conjunto original 
y el imagen 
, entre los que se puede establecer una relación funcional simbolizada por 
, decir con qué elementos del conjunto imagen están relacionados los elementos del conjunto original 
y 
(Sol.: con 
y 
, respectivamente)
Dados el conjunto original 
y el imagen 
, entre los que se puede establecer una relación funcional simbolizada por 
, decir cuáles son los elementos de 
siguientes: 
y 
(Sol.: Basta sustituir 
por 
y 
, respectivamente: 
; 
)
Dada la relación funcional entre dos conjuntos 
, ¿cuáles son los elementos imágenes 
y 
? (Sol.: 
; 
)
Dada la función 
, calcular 
(Sol.: 
)
Dada la función 
, calcular 
(Sol.: Basta sustituir 
por 
: 
)
Operaciones con funciones
Todas las operaciones entre funciones conducen a una nueva función.
-
Suma, resta, multiplicación y división: se realizan por las reglas algebraicas usuales:
Sean 
y 
. Efectuar 
(operación que también se simboliza 
)
Sol.: 
Sean 
y 
. Efectuar 
(Sol.: 
)
Sean 
y 
. Calcular 
y 
y comprobar (haciendo uso del resultado del ejercicio anterior) que 
(Sol.: 
; 
; por lo tanto:
; 
por su parte, como 
(según se ha visto en el ejercicio anterior): 
)
Sean 
y 
. Efectuar 
(operación que también se simboliza 
)
Sol.: 
Usando los datos del ejemplo anterior, ¿cuánto vale 
? (Sol.: 
)
-
Composición de funciones
Sean 
y 
. La composición «de 
con 
» se escribe 
o 
o 
(nótese que se escribe en orden inverso a como se lee), y se calcula como sigue. Del mismo modo que, por ejemplo, 
, también se cumplirá que 
; ahora se sustituye por 
la expresión dada para dicha función, se simplifica si es posible y el problema está solucionado: 
Sean 
y 
. Componer 
con 
(Sol.: 
)
A la vista del ejemplo y ejercicio anteriores, ¿la composición de funciones tiene la propiedad conmutativa? (Sol.: no, pues 
; es decir, el orden en que escribamos las funciones influye en el resultado)
Sean 
y 
. Calcular 
(Sol.: 
)
Sean 
y 
. Calcular 
(Sol.: 
)
Sean 
, 
y 
; efectuar 
. Sol.: Cuando hay que componer tres funciones se empieza con las dos últimas escritas: 
, y esta función resultante, que podemos llamar 
, se compone con 
: 
Sean 
, 
y 
; efectuar 
(Sol.: 
; 
)
El sentido que tiene la operación composición de funciones lo ilustraremos con el siguiente
Sean los elementos 
del conjunto de los números naturales: 
y los elementos 
de los cuadrados de estos números: 
; y sea también un conjunto 
cuyos elementos se obtienen multiplicando por 
y restando 
de los de 
, es decir: 
(llamaremos 
a la función que relaciona los elementos de 
con los de 
). Pues bien, la composición de 
con 
, es decir, 
, que en este caso es: 
, lo que nos da es la relación directa entre los elementos de 
y los de 
, lo que es fácil comprobar con los primeros elementos de ambos conjuntos
-
Inversa de una función
La inversa de una función 
se representa por 
y tiene la propiedad: 
Se calcula como se ilustra en el siguiente
Dada la función 
, calcular su inversa
Sol.: para resolver este problema se iguala la expresión de la función a 
y se despeja 
: 
En la expresión resultante se intercambia 
por 
y viceversa:
El segundo miembro de esta igualdad es la función inversa buscada: 
Dada la función 
, su inversa es 
. Una función y su inversa deben cumplir: 
Comprobarlo en este caso concreto (Sol.: 
; 
)
Dada la función 
, calcular su inversa (Sol.: 
; 
; 
Intercambiamos: 
La inversa es, por tanto: 
, que cumple 
, 
lo.que es fácil de comprobar)
