1.4. Orbitales hidrogenoides


Complementos

Representación gráfica de la función de onda




Representación gráfica de la función de distribución radial de los orbitales s, p, d y f

Considérese la imagen siguiente (tomada de R. Chang: Physical Chemistry for the Chemical Sciences, University Science Books, 2014):

El centro de coordenadas representa el núcleo de un átomo hidrogenoide. La capa esférica dibujada, de espesor infinitesimal , se encuentra a una distancia del núcleo comprendida entre r y r+dr. Llamaremos probabilidad radial, Prrr+dr, a la “fracción” del electrón que se halla en esa delgada capa. Esta probabilidad se puede calcular así:

Prrr+dr = [R(r)]2 r2 dr

siendo R(r) el factor radial de la función de onda y [R(r)]2 r2 la llamada función de distribución radial, que es la densidad de probabilidad asociada con la parte radial de la función de onda. La fórmula es válida para todos los tipos de orbitales (s, p, d, f) (Levine: Physical Chemistry, 6ª ed. McGraw-Hill, 2009, p. 646). La siguiente figura contiene representaciones gráficas de [R(r)]2 r2 frente a r/a de varios tipos de orbitales (a es una constante llamada radio de Bohr).

La densidad de probabilidad radial guarda cierta analogía con |ψ|2, que es la densidad de probabilidad de la función de onda completa. Es sabido que, para los orbitales s, |ψ|2 tiene su valor máximo en el núcleo. Sin embargo, la densidad de probabilidad asociada solo al factor radial, [R(r)]2 r2, es nula en el núcleo, como puede verse en la figura anterior. La aparente paradoja queda resuelta al observarse que la expresión matemática de la función de distribución radial incluye el factor r2. Lógicamente, este factor es 0 en el núcleo.

Pero, además, ambas densidades se refieren a elementos de volumen diferentes, y eso impide que sean comparables. Mientras |ψ|2 se refiere a un elemento de volumen  que siempre es del mismo tamaño infinitesimal; [R(r)]2 r2 se refiere a una capa de volumen infinitesimalr2dr (Levine, p. 646) que se va haciendo mayor al aumentar r. En el núcleo, 4πr2dr es 0, por lo que en dicho punto la densidad de probabilidad radial es nula. Tras alcanzar un máximo para cierto valor de r , la función [R(r)]2 r2 empieza a decaer porque, aunque el volumen de la capa sigue aumentando, la densidad electrónica va disminuyendo conforme nos alejamos del núcleo. Son, pues, dos efectos contrapuestos los que explican los perfiles de [R(r)]2 r2 de la figura anterior. Para el orbital 1s, todo esto se puede esquematizar mediante la siguiente figura (adaptada de Sy M. Blinder: Introduction to Quantum Mechanics: in Chemistry, Materials Science, and Biology, Elsevier Academic Press, 2004):


Este texto forma parte del curso:
Principios de Estructura Atómica y Molecular y de Química

 

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