28. (ESTA PREGUNTA Y LAS DOS SIGUIENTES ESTÁN RELACIONADAS). Al irradiar K policristalino con la línea de 364,6 nm del H se liberan electrones del K con una energía cinética máxima de 1,778·10–19 J, y al irradiarlo con luz ultravioleta de una lámpara de Hg de 253,7 nm, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 4,160·10–19 J. ¿Cuánto vale la función de trabajo o “energía de atadura” del K policristalino?
(A). En torno a 3,67·10–19 J
(B). En torno a 5,94·10–19 J
(C). En torno a –9,61·10–19 J
(D). Faltan datos en el enunciado para poder hacer los cálculos.
Solución: A. La ley del efecto fotoeléctrico, propuesta por Einstein, es: Ec = hν – φ, siendo Ec la energía cinética máxima de los electrones emitidos, ν la frecuencia de los fotones incidentes que producen el efecto y φ la “energía de atadura” del electrón al material metálico en cuestión, comúnmente llamada función de trabajo. Esta es característica de cada metal; por lo tanto, es un valor constante. Por todo lo dicho, basta plantear la ecuación de Einstein para los dos pares de datos que nos dan y calcular φ en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas correspondiente. Pero antes, como en el enunciado figuran valores de longitudes de onda y no de frecuencias, transformaremos la ecuación de Einstein de modo que aparezcan longitudes de onda. Basta sustituir en ella el valor de la frecuencia en función de la longitud de onda según la conocida relación de las ondas electromagnéticas ν = c/λ. Nos queda: Ec = hc/λ – φ. En esta ecuación, las longitudes de onda del enunciado, que vienen en nm, las expresaremos en el sistema internacional, es decir, en metros multiplicando por 10–9:
1,778·10–19 = hc / (364,6·10–9) – φ
4,160·10–19 = hc / (253,7·10–9) – φ
Como no nos dan en el enunciado el valor de h ni el de c, podemos considerar hc una incógnita (x):
1,778·10–19 = 2,743·106 x – φ
4,160·10–19 = 3,942·106 x – φ
Del sistema se obtiene: φ = 3,67·10–19 J.
29. (ESTA PREGUNTA, LA ANTERIOR Y LA SIGUIENTE ESTÁN RELACIONADAS). Calcular la velocidad máxima que adquirirían los electrones del K policristalino si fuesen irradiados con luz azul de 470 nm. (La masa del electrón es: 9,1·10–31 kg; si se necesitaran otros datos, determinarlos a partir del ejercicio anterior).
(A). La 1/470 parte de la velocidad de la luz
(B). En números redondos, 350 kilómetros por segundo
(C). Muy próxima a la velocidad del sonido (unos 340 m/s)
(D). Del orden de 1 milímetro por segundo
Solución: B. La energía cinética máxima de los electrones expulsados se calcula mediante la ley de Einstein del efecto fotoeléctrico: Ec = hν – φ. Como la energía cinética depende de la velocidad según Ec = ½ mv2, la fórmula anterior se puede escribir: ½ mv2 = hν – φ, o bien, en función de la longitud de onda: ½ mv2 = hc/λ – φ. Basta despejar y sustituir datos para obtener el valor de la velocidad máxima, v. Nos faltaría saber cuánto vale el producto hc, que igualamos a x en el ejercicio anterior. Para ello, volveremos al sistema de ecuaciones de antes y sustituiremos en una cualquiera de ellas, por ejemplo esta:
1,778·10–19 = 2,743·106 x – φ
el valor ya conocido de φ (= 3,67·10–19 J). Nos quedará:
5,448·10–19 = 2,743·106 x.
Despejando: x = 1,986·10–25, que es el valor en el sistema internacional del producto hc. Sustituyéndolo en ½ mv2 = hc/λ – φ obtenemos, para una longitud de onda de 470 nm:
v = [2 (1,986·10–25 / 470·10–9 – 3,67·10–19) / 9,1·10–31]1/2 ≈ 3,494 105 m/s (la velocidad la obtenemos en m/s porque todas las cantidades las hemos escrito en unidades del sistema internacional). Esa cantidad equivale a 349,4 km/s.
30. (ESTA PREGUNTA ESTÁ RELACIONADA CON LAS DOS ANTERIORES). ¿Qué longitud de onda máxima tendría que tener un fotón para poder arrancar un electrón del potasio policristalino? (Dato: c (velocidad de la luz) = 2,998·108 m/s; si se necesitaran otros datos, deducirlos de los ejercicios anteriores).
(A). Aprox. 3·108 m
(B). La de la radiación UV de longitud de onda más alta posible (unos 400 nm)
(C). 253,45·10–3 nm
(D). Unos 541 nm
Solución: D. La ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico es: Ec = hν – φ. Si un fotón que incide sobre un átomo tiene un valor de frecuencia insuficiente para arrancar un electrón, lógicamente este electrón tendrá velocidad de salida nula (es decir, no saldrá) y, por ende, su energía cinética será 0. En esas condiciones se cumplirá: 0 = hν – φ ⇒ ν = φ / h. Solo para valores de frecuencia mayores que cierto valor ν0, el electrón será arrancado y saldrá con tanta mayor velocidad cuanto mayor sea su n en comparación con ν0. La frecuencia ν0 se llama umbral. Pero el enunciado nos pide la longitud de onda máxima (longitud de onda umbral). La relación entre ambos valores umbrales es ν0 = c /λ0. Sustituyendo en la igualdad encontrada más arriba, ν0 = φ / h, nos queda: c /λ0 = φ / h ⇒ λ0 = hc / φ. Recordemos que el valor de hc lo hemos llamado x y se calculó en el ejercicio anterior, resultando ser igual a 1,986·10–25 en unidades del sistema internacional. Entonces: λ0 = 1,986·10–25 / 3,67·10–19 = 5,41·10–7 m (obtenemos metros porque λ tiene unidades de distancia y porque todos los cálculos los hemos estado haciendo con las variables expresadas en unidades del sistema internacional). En nanómetros serían 541. De las respuestas dadas, las de “253,45·10–3 nm” y “400 nm” se pueden descartar directamente, ya que en el enunciado del ejercicio anterior se dice que fotones de longitud de onda superior a esas (fotones de 470 nm concretamente) son capaces de arrancar electrones.
