Lo que sigue no aspira a ser sino unas reflexiones sobre la lectura del texto de D. J. Furley (“Indivisible Magnitudes”, en Two Studies in the Greek Atomists); no una tesis, ni siquiera una colección de hipótesis dispersas acerca de los indivisibles y el continuo, problema muy complejo que, estimo, requeriría la dedicación de mucho tiempo (2.500 años, que se sepa, lleva el hombre atareado con él). Los comentarios son más bien de tipo crítico, porque –lo admito– es más fácil criticar que construir, pero también probablemente ese es el orden de las cosas cuando se trata de abordar problemas desbordantes.
1. De acuerdo con Furley, las paradojas de Zenón llevaron a la física griega a un punto muerto. Pero, ¿es la Física o es la Matemática la que puede sufrir un bloqueo por los argumentos eleáticos de ese tipo? Me parece que cuando se trata el problema del continuo suele hablarse de objetos físicos como si fueran matemáticos, y al revés.
En su estudio (pág. 4), Furley declara seguir a los griegos cuando usa el vocablo magnitud (megeqoV) tanto en el sentido de “extensión espacial” como de “un objeto que tenga extensión espacial”. A mí personalmente, analizando por ejemplo la paradoja de la Dicotomía y tratando de entender en qué queda una magnitud cuando se divide hasta “el infinito”, se me hace imprescindible distinguir entre esas dos definiciones de magnitud, en el siguiente sentido: considero muy distinto hablar de “una línea” que de un palo a la hora de hablar de su “división”.
Además, los distintos autores griegos (y posteriores) que tratan estos asuntos, ¿están interpretando de la misma manera el verbo “dividir”? Eso es algo que no me ha quedado claro en el texto de Furley, y me parece esencial. Por “dividir” una recta en dos yo puedo entender “individualizar” un punto en ella y adquirir de esta forma la capacidad de diferenciar así las dos partes en que ha quedado “dividida”. Lo que no puedo es concebir el separar las dos semirrectas espacialmente. Una recta matemática, como cualquier figura geométrica, es un lugar de puntos. Es decir, la esencia de “cada punto” matemático es el lugar que ocupa en el espacio. No se puede, entonces, considerar puntos como si fueran migas de pan y hablar de separarlos unos de otros.
Los dos trozos que resultan de “dividir” un palo partiéndolo en dos sí cabe apartarlos uno de otro espacialmente. Sin embargo, y por el contrario, dividir un palo a la manera de una recta es lo que ahora se me hace difícil de concebir: puedo “individualizar” mentalmente en el trozo de madera un punto, pero a la hora de considerar qué puntos están “a su derecha” y “a su izquierda” mi mente empieza a meterse en un aprieto. Desde luego, en ese caso sería quizá más fácil identificar un plano en el palo y considerar los “puntos de la madera” a la derecha y a la izquierda del plano.
Digo todo esto porque me parece que en alguno de los razonamientos que he leído y estudiado se trata una “línea” –entiendo un segmento– como si fuera un palo, es decir, se manipula un elemento abstracto matemático como si de un objeto sensible, físico, se tratase. Por ejemplo, según la glosa de Furley, Aristóteles, para demostrar que un punto no añade nada al tamaño de una línea, argumenta que
si una línea se divide en dos, la suma de sus dos partes es la misma que la longitud de la línea original; sin embargo, ahora hay dos puntos –en el extremo interior de cada una de las dos medias líneas– donde antes sólo había uno (Furley, 85)
El proceso de división de un segmento en dos no puede requerir el alejar unos puntos de otros, unos hacia la derecha y otros hacia la izquierda, porque tales puntos son lugares matemáticos. Por lo tanto, no cabe que “aparezcan” nuevos puntos. La divisibilidad de una línea sólo puedo entenderla por la acción de mi mente de identificar, concretar, visualizar un punto en ella. Es un proceso que me involucra a mí, como pensador de la línea.
2 Pero sigamos con la diferencia entre una línea y un palo. Para conocer sus propiedades respecto a la división necesito conocer otras características de estos “entes”. El concepto de palo está quizá más cerca de mi experiencia sensible, sobre todo si me han atizado con él en la espalda –y valga esta broma, no frívola en absoluto: el palo, blandido por otra persona, puede ejercer una acción capaz de provocar reacción física y mental en mí, y en ese mismo sentido un jumento puede razonar sobre un palo igual o mejor que yo; pero a la línea la veo más bien como prioritariamente susceptible de ser pensada por mí–.
La idea de línea es básicamente una construcción (no sé si sólo humana). Por lo tanto, cada persona puede interpretarla de distinta forma. Supongo que para el común de los mortales un segmento de línea recta es el lugar de los infinitos puntos que constituyen el camino más corto entre los extremos de cada segmento. Nótese que en la propia definición se ha introducido el término infinito, y eso puede constituir una rémora, porque no estamos dando un fundamento seguro a la definición empleando un término tan evanescente.
Es decir, si decimos que la línea está formada de infinitos “puntos” –también habría que definir qué es un punto, pero contentémonos con la idea intuitiva que supongo más o menos universal–, encontraremos dificultades al razonar hasta dónde podemos dividirla. En la definición está el pecado que merece la penitencia de 25 siglos tratando de explicar razonablemente cómo se puede llegar desde un punto A hasta otro B pasando por infinitas “muescas” intermedias en el segmento.
Yo creo que una redefinición adecuada del concepto de línea haría más operativa la solución de muchos problemas inherentes a, por ejemplo, su divisibilidad. ¿Que se cae en la circularidad explorando cualidades de algo ya definido? No siempre, pues pueden deducirse características nuevas a partir de la definición con más ricas perspectivas. Pero, además, ¿es que ahora (en la matemática actual) no estamos operando ya de hecho con ideas apriorísticas sobre la línea, como cuando decimos que está formada por infinitos puntos?
Lejos de mi intención el tratar de dar una nueva definición de línea, pero, para que sirva sólo de ejemplo (no profundamente reflexionado), ¿no sería mejor ver el segmento que va de A a B como tal que un objeto lo recorre en un determinado tiempo si va a una cierta velocidad? (Se introducen, desde luego, consideraciones dinámicas. ¿Y por qué no, sobre todo después de lo sentado por la teoría de la relatividad…?) Es más, supongamos que para explicar ciertos fenómenos es muy útil considerar un segmento como he expuesto, y para otros casos se demuestra más necesario concebirlo como formado de infinitos puntos. Pues concíbase el segmento de ambas formas simultáneamente; admitamos definiciones duales. ¿No se trata la luz a veces como onda y otras como corpúsculos y ese aparente absurdo ha quedado sancionado como uno de los fundamentos de la física moderna? Con todos los respetos, si el hombre quiere alcanzar más penetración debe superar la lógica griega, que para estos cometidos me temo que resulta ingenua y roma.
3. Otra reflexión a raíz de esto. Se trata a los cuerpos o líneas sobre cuya divisibilidad se discute como entes aislables, y se los aísla efectivamente al argumentar sobre ellos olvidando la vecindad (por decir lo menos fuerte, por evitar la palabra interacción) de otros puntos o líneas, de otros planos. Pero yo no concibo la aislabilidad de un punto o de una línea. Si vemos a la línea como una sucesión de puntos debemos recordar que esos puntos forman parte de una malla (digamos) tridimensional densa.
Bien, discurramos ahora sobre la división de esta línea en todos los puntos simultáneamente, como hicieron y siguen haciendo muchos filósofos. La forma de “pergeñar” esa división no se me ocurre que sea otra que individualizando todos los puntos al mismo tiempo, y entonces podemos considerar que queda lo que dice Aristóteles: ¡¡nada!!. Pero, ¡alto! No pasemos de aquí impunemente: ¿puede algún ser humano decirme qué es nada? Si alguien ha pensado seriamente en la nada y ha experimentado un profundo vértigo, a veces bañado en una inefable felicidad y otras en una aflicción inconsolable, que me ayude a reivindicar el no uso gratuito de ese término (y no quiero decir con esto que Aristóteles lo usara frívolamente).
Pero hagamos oídos sordos a la estridencia atronadora de la palabra nada y de la propia nada para concentrarnos en la operación que se debate: dividir una línea simultáneamente por todos sus puntos. No sé cómo puede ello concebirse, pero si se llegara a verificar no puedo afirmar que “quedará nada”: cada punto individualizado forma parte de un plano perpendicular a la línea que se está polisecando, y todos esos planos forman el espacio. En fin, la argumentación quizá no resista ataques de filósofo duchos en estas lides del continuo, pero sólo me interesa poner de manifiesto que no se puede aislar de su espacio a los objetos o entes sobre cuya divisibilidad se discurre.
Y todo esto, además, admitiendo que “el punto sea nada”. (Furley (pág. 106) discute sobre las dimensiones de punto, recta, plano y espacio al comentar el pensamiento de Platón al respecto.) Pero incluso ahí me surge otra inquietud. ¿Por qué una dimensión 0 se dice que es nada? Estamos hablando de entes matemáticos, y los matemáticos nunca se han arredrado ante aparentes monstruos semejantes. Como el número i, que se introduce más o menos arbitrariamente para al final hacerse imprescindible (por ejemplo, en la formulación actual de la mecánica cuántica), a pesar de su inconmensurabilidad con los números reales, que supuestamente gozan del monopolio para explicar el mundo real. La dimensión 0 tiene tanto derecho a ser (y la –1, -2, etc.) como la 1, la 3 o la 4 (que ya “es” en la teoría de la relatividad). Sólo un ánimo no timorato, pero tampoco temerario, para introducir conceptos nuevos aunque extraños a los que nos lleve irremisiblemente la argumentación lógico-matemática hará que el saber humano se proyecte hacia regiones más amplias, más brillantes.
4 Y es que muchos conceptos matemáticos (y entre ellos el de línea) son puramente intelectuales. Una definición tan simple para una línea recta como “el camino más corto (en el sentido de que se llega antes) entre dos puntos” hay que rehacerla en la teoría de la relatividad: influida por intensas gravitaciones, la luz puede llegar antes a un objetivo siguiendo una “curva”.
Por consiguiente, operar con un “objeto” intelectual debe ser necesariamente un proceso intelectual. La operación de dividir una línea descansa, en mi modo de ver, en individualizar mentalmente puntos en ella. Para mí (y ésta, como todas las anteriores, no es idea que pueda considerar mía, sino que es producto de las lecturas hechas para redactar este ensayo) la línea podemos verla efectivamente como una colección, admitamos que infinita (en el sentido intuitivo de “infinito” que supongo común al común de los mortales) de puntos. Pero tales puntos no están ahí, dados sin más. Mi operación de pensar en ellos los individualiza, los saca de su “limbo cuántico”, reduce su “paquete de ondas” (y empleo esta jerga porque creo que es contemporáneamente comprensible). En este sentido entiendo (y aplaudo) los conceptos de “potencialidad” y “actualidad” que usa Aristóteles. Individualizar en mi mente puntos en una línea, como toda operación intelectual, lleva tiempo, y desde este punto de vista aprecio igualmente la idea de Wieland (Furley, 150) de la “conexión esencial existente entre el infinito y el movimiento en la teoría de Aristóteles”.
5. Vuelvo con que la línea y su divisibilidad me parecen creaciones intelectuales. Del hombre, claro. Al leer obras de filósofos me he encontrado, a menudo, con razonamientos que usan como prueba de lo absurdo de una determinada proposición la “repugnancia intelectual” que produce la sola suposición de su plausibilidad. ¿El que una línea pueda ser actual y simultáneamente divisible en todos –¿qué es “todos” en este caso, por otro lado?– sus puntos, ¿le produce repulsión intelectual a un camaleón (si es que tiene alguna idea de línea) como parece que se la produce a algunos hombres? Y, ¿le repugna tal idea a la propia línea o a los puntos que la forman? Me pregunto cómo ve una línea su propia divisibilidad. Sería interesante oírla hablar al respecto. ¡Dejad, pues, a la línea (o a un palo) que participe en este debate!
Si nos repugnan estas conjeturas, fantaseemos al menos con el siguiente supuesto (aunque puede que resulte aún más execrable al ortodoxo militante): somos una línea pensante que puede volver los pensamientos sobre nosotros mismos, sobre nuestra esencia de línea. Bien, la pregunta es: ¿hasta qué punto somos divisibles? Digamos que “cada punto” de la línea que somos puede pensar, pero no independientemente, sino que todos piensan al unísono. Divididos, separados nuestros puntos, o “individualizados” por otro ser pensante, la pregunta es ahora: ¿seguimos siendo? Quizá dependa de si la división nos alteró en el sentido de que ya el pensamiento de los puntos “separados” no es posible…
Entiéndase que estas digresiones, quizá delirantes, quizá incluso aberrantes, tienen aquí principalmente el objetivo de encararnos con lo absurdo de tratar de ver desde una posición pretendidamente independiente del mundo el propio mundo; y peor aún, de tratar de aprehender como si de un “objeto” se tratase parte del mundo cuya existencia independiente de nuestra mente la considero dudosa. Las características de una línea dependen de nuestra idea de ella. Y al revés: nuestra forma de pensar como seres humanos depende de alguna forma de nuestra capacidad de identificar lo que llamamos “líneas” en la naturaleza que nos rodea, o de construirlas. Probablemente un camaleón también entienda que su camino más corto al insecto es una línea recta, pero ¿lo ve así también siempre un fotón? Ciertamente, me he separado aquí de la discusión sobre el continuo y su divisibilidad, porque estoy argumentando más bien sobre el concepto de recta, pero de nuevo sólo quiero llamar la atención sobre lo peligroso que me resulta tratar de definir las cosas siempre desde el punto de vista humano, dentro de su esquema particular del mundo, y creyendo que el propio pensamiento no influye en el ente pensado. Reclamo una visión más integradora.
6 Otro argumento leído y que no puedo compartir es el dar por hecho acríticamente la reversibilidad de procesos sobre los que se medita. Así, algunos griegos entienden que es imposible dividir una línea en todos sus puntos porque eso daría “nada”, y que la “nada” no puede unirse de nuevo para dar la línea. ¿Qué autoriza a usar esa argumentación de simetría? Yo puedo admitir en principio, por el contrario, que una línea se divida para dar nada y que luego el camino contrario sea imposible, sin que la imposibilidad del segundo proceso (admitámosla) sirva para refutar el primero. Aquí podríamos hacer algunas consideraciones de tipo termodinámico, pero ahora las prefiero metafísicas, aunque sean baratas: yo podría plantearme, por ejemplo, que la divisibilidad absoluta de todo implique precisamente su destrucción irreparable; es decir, que, en el límite, la división absoluta de Lo Que Es, su individualización infinita, su partición hasta el fin, implique justamente su anulación, y que ese proceso sea irreversible.
7 Y ahora vamos a la división de un palo. Creo que cuando nos referimos a un objeto físico todos entendemos que estamos hablando de la separación espacial de sus partes (aunque quizá también se pueda considerar la división en el sentido de individualización de uno o más “puntos” en el cuerpo material). Llamemos a eso división “física”. Así como la división “matemática” es un proceso en el tiempo, como el mismo Aristóteles entiende (Furley, 150), la “física” creo que está conectada en algún sentido con el concepto de energía. Yo entiendo que se puede proseguir una división, pero creo que cada partición subsiguiente requiere más energía. Y ahí encontramos un límite a la actualización de esa potencialidad de seguir rompiendo indefinidamente. Al seguir el proceso vamos entrando en las regiones extrañas del infinito: trozos que tienden a ser infinitamente pequeños y energías que tienden a ser infinitamente grandes. Evidentemente no estoy hablando de protones, electrones, positrones, o incluso quarks. Concebir o no la indivisibilidad de esas partículas desde el punto de vista de la Ciencia Física ortodoxa no creo que sea el objeto que perseguimos aquí.
Por el contrario, me temo que lo que aquí investigamos es si un cuerpo del tamaño de un quark pero con las características macroscópicas de una bola de billar sigue siendo divisible en el mismo sentido que lo es esa bola de billar, es decir, si se pueden seguir separando partes en él. Insisto en que no se trata de aplicar los conocimientos físicos al respecto, sino más bien de intentar ver el problema desde un punto de vista matemático, ya que a las regiones abstractas de los dominios de la Matemática me lleva inexorablemente la especulación sobre las consecuencias de un dividir y dividir sin fin. Supuesto que dispongo de “todo el tiempo del mundo” para seguir adelante, el sentido común me dice que lo que debo hacer para dar por válido el proceso de separación es ir colocando las piezas secadas en distintos lugares. Entiendo que para mantener las partes diferenciadas debo emplear cada vez más “volumen” de regiones imaginemos que inicialmente “vacías” a mi alrededor. Pero, con este proceder, ¿no estoy creando el espacio? Es decir, ¿no estoy, colocando, espaciando aquí y allá “diminutos” corpúsculos, poniendo puntos de referencia? Me sorprende la trabazón existente entre esta dispersión física de cosas materiales y la formación de un espacio matemático, e intuyo la relación inversa.
Lucubraciones y lucubraciones, quizá, pero pretenden ilustrar mis ideas sobre la existencia, desde mi modo de ver, de una conexión de la física Real con la matemática Irreal en terrenos tan “delicuescentes” como el que tratamos. ¿Resultará a la postre que después de todo en cierto modo la realidad objetiva física se “toca” con la idealidad mental, subjetiva, matemática? ¿Existe una continuidad en ese sentido? La exploración de la posibilidad de ese continuo metafísico es cautivadora.
8. A estas y otras reflexiones que he dejado en la papelera de reciclaje de mi ordenador me ha llevado la lectura del ensayo de Furley y el hojeo-ojeo de los libros que cito más abajo. No pretenden constituir un cuerpo lógico: no he tratado de casar posibles discrepancias en mi propio pequeño discurso porque simplemente son un conjunto de consideraciones casi a vuelapluma.
A lo que yo no he llegado y sí me han llevado Furley y Sorabji con sus agudas y profundas interpretaciones es a entender mucho mejor que antes el concepto de actualidad y potencialidad en Aristóteles, marco general dentro del me gusta acogerme para entender muchas cosas. Furley subraya que al abordar el concepto de infinito Aristóteles no respeta al pie de la letra su paradigma al respecto, pero no por ello cae en la incoherencia o la contradicción (Furley, 153-154).
Pero también, siempre, me resultan muy esclarecedoras y sugerentes las ideas de Platón. Y creo que debería otorgársele más importancia en el estudio de los indivisibles al punto de vista de las Ideas de recta, punto, etc., que lo que lo hace Furley (sólo y someramente en el cap. 7). Un abordaje matemático de conceptos como estos, que creo matemáticos, debería encontrar en el sistema de Platón una interpretación muy adecuada, y estimo que por ahí deberían profundizar futuros estudios.
9 Mi conclusión es que a veces se trata de abordar el problema del continuo y de la divisibilidad desde una lógica muy estrecha, y por ese procedimiento puede que le sigamos dando vueltas otros 25 siglos. Aclaro que sólo soy capaz de dar un diagnóstico del estado “verde” del problema, pero reconozco, por supuesto, que no encuentro una solución clara y contundente. Valgan no obstante los argumentos expresados aquí como humildes consideraciones a tener en cuenta por quien tenga mayor capacidad para atar nudos.
10 Bibliografía
- Furley, D. J. “Indivisible Magnitudes” (cap. I de Two Studies in the Greek Atomists”). Princeton: Princeton University Press, 1967
- Sorabji, R. Time, Creation and the Continuum. Londres: Duckworth, 1983.
- Bostock, D. “Time and the Continuum. A Discusion of Richard Sorabji, Time, Creation and the Continuum”. Lulia Annas (ed.): Oxford Studies in Ancient Philosophy. Vol. VI. Oxford: Clarendon Press, 1988.
- Guthrie, W. K. C. Historia de la Filosofía griega, vol. II. Cap. VIII: “Los atomistas del siglo V”, especialmente su apéndice “La indivisibilidad y los átomos”. Madrid: Gredos, 1986 (1ª reimpr., 1993).
- Fartos Martínez, M. Historia de la Filosofía y de la Ciencia. Cap. 2: “Los presocráticos” (esp. el apartado “Las aporías de Zenón”). Valladolid: Secretariado de Publicaciones U. de Valladolid, 1992.
- Ray, C. Time, Space and Philosophy. Especialmente cap. I: “Zeno and the Limits of Space and Time”. Londres y Nueva York: Routledge, 1991.
- Lear, J. “A Note on Zeno’s Arrow”. Classical Philosophy. Collected Papers. Terence Irwin, ed. Londres y Nueva York: Garland Publishing, 1995.
- Rodríguez Donis, M. El Materialismo de Epicuro y Lucrecio. Esp. cap. VIII: “Materia y Movimiento”. (también útil la bibliografía que da sobre Física Atomista, en pág. 257). Sevilla: Publicaciones de la U. de Sevilla, 1989.
- Furley, D. “Zeno and Indivisible Magnitudes”. The Pre-Socratics. A Collection of Critical Essays. Princeton: Princeton U. P., 1993.
- Owen, G. E. L. “Zeno and the Mathematicians”. Logic, Science, and Dialectic. Ithaca y Nueva York: Cornell U. P., 1986.
19-5-99
